A := { u= (2,1,1) , v= (3,2,2), w= (4,0,0) } ⊂ ℝ3
und U := <A>ℝ der von A erzeugte Untervektorraum von ℝ3 .
(a) Wie viele Vektoren aus A kann eine Basis von ℝ3 höchstens enthalten?
Zwei.
Grund v - 2*u= (-1|0|0) = -1/4 w
Also v - 2*u + 1/4*w = 0
(b) Geben Sie eine Basis von ℝ3 an, die möglichst viele Vektoren aus A enthält.
B = { u= (2,1,1) , v= (3,2,2), z=(0|0|1) }
z ist ein Vektor bei dem sich die beiden hinteren Komponenten unterscheiden und der daher nicht in U liegt.
(c) Gibt es eine Basis von U, die keine Vektoren aus A enthält?
B_c1= {u+v = (5|3|3), u+w = (6|1|1)}
Gibt es eine Basis von U, die nur Vektoren aus A enthält?
B_c2 = { u= (2,1,1) , v= (3,2,2)}
Wenn ja, geben Sie jeweils eine an.
(d) Auf wie viele Arten lässt sich der Vektor ( 5, 3,
3 ) als Linearkombination von Vektoren aus A schreiben?
Das müsste auf unendlich viele Arten gehen, das die Elemente von A lin. abh. sind. Rechne das aber noch nach, wie alles andere auch.