A:={(2,1,1),(3,2,2),(4,0,0)}⊂ℝ^3. Auf wieviel Arten lässt sich (5,3,3) als LK von Vektoren aus A schreiben?

Question

Sei

                           A := { (2,1,1) (3,2,2) (4,0,0) } ⊂ ℝ³

und U := <A>_ℝ der von A erzeugte Untervektorraum von ℝ³ .

(a) Wie viele Vektoren aus A kann eine Basis von ℝ³ höchstens enthalten?

(b) Geben Sie eine Basis von ℝ³ an, die möglichst viele Vektoren aus A enthält

(c) Gibt es eine Basis von U, die keine Vektoren aus A enthält? Gibt es eine Basis von U, dir nur Vektoren aus A enthält? Wenn ja, geben Sie jeweils eine an. 

(d) Auf wie viele Arten lässt sich der Vektor ( 5, 3,

 3 ) als Linearkombination von Vektoren aus A schreiben?

Answer 1

    A := { u= (2,1,1) , v= (3,2,2), w= (4,0,0) } ⊂ ℝ³

und U := <A>_ℝ der von A erzeugte Untervektorraum von ℝ³ . 

(a) Wie viele Vektoren aus A kann eine Basis von ℝ³ höchstens enthalten? 

Zwei.

Grund v - 2*u= (-1|0|0) = -1/4 w

Also v - 2*u + 1/4*w = 0

(b) Geben Sie eine Basis von ℝ³ an, die möglichst viele Vektoren aus A enthält.

B = { u= (2,1,1) , v= (3,2,2), z=(0|0|1) }

z ist ein Vektor bei dem sich die beiden hinteren Komponenten unterscheiden und der daher nicht in U liegt.

(c) Gibt es eine Basis von U, die keine Vektoren aus A enthält?

B_c1= {u+v = (5|3|3), u+w = (6|1|1)}

Gibt es eine Basis von U, die nur Vektoren aus A enthält?

B_c2 = { u= (2,1,1) , v= (3,2,2)} 

Wenn ja, geben Sie jeweils eine an.  

(d) Auf wie viele Arten lässt sich der Vektor ( 5, 3,

 3 ) als Linearkombination von Vektoren aus A schreiben?

Das müsste auf unendlich viele Arten gehen, das die Elemente von A lin. abh. sind. Rechne das aber noch nach, wie alles andere auch.

Comments

zur c) 
also kann man die vektoren x beliebig +/* rechnen? hauptsache der vektor ist dann anders und schon ist er eine basis von u die keine vektoren aus A enthält? 
also wenn ich jetzt zb. (2,1,1) * 3 und (3,2,2) * 7 rechne. sind diese 2 dann nicht mehr vektoren aus A? 

und zur basis:

könnte ich theoretisch auch aus v und w eine basis bilden? oder müssen es immer die ersten 2 vektoren sein?

( und sagen wir mal es würde gehen. dann wäre die B_c2 v und w ?

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Sind die Vektoren aus A linear abhängig?

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Wie kann man b beweisen

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Gemäss Fragestellung musst du das nicht beweisen.

Du kannst zeigen, dass die 3 Vektoren linear unabhängig sind.

Z.B. folgendermassen (falls so ein Satz in deinen Unterlagen):

Determinante mit den 3 Vektoren in einer Matrix ist nicht 0.

Answer 2

         A := { (2,1,1) (3,2,2) (4,0,0) } ⊂ ℝ³

und U := <A>_ℝ der von A erzeugte Untervektorraum von ℝ³ .

(a) Wie viele Vektoren aus A kann eine Basis von ℝ³ höchstens enthalten?

und b)

es ist   2* (2,1,1)   -    (3,2,2)   =    0,25 *  (4,0,0)

Also sind die drei lin. unabh. allerdings ist keiner ein

vielfaches eines anderen, also bilden je zwei der 3

eine Basis von U.  Nix höchstens, Anzahl ist immer eindeutig.c) Nimm zwei davon und multipliziere sie jeweils mit 2, dann hast du

eine Basis ohne Elemente von A.

d) unendlich viele

Comments

Verstehe nicht ganz warum bei d) die Antwort unendlich viele ist... Dachte es wären drei Möglichkeiten, da man immer zwei Vektoren aus A linear kombinieren kann.

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A := { (2,1,1) (3,2,2) (4,0,0) } ⊂ ℝ³
Auf wie viele Arten lässt sich der Vektor ( 5, 3,3 ) als

Linearkombination von Vektoren aus A schreiben?

Geht ja im Kopf:

( 5, 3,3 )  =  1*(2,1,1)+ 1* (3,2,2)  + 0*(4,0,0)

=   2*(2,1,1)+ 0,5 * (3,2,2)  + 0,125 *(4,0,0)

=   3*(2,1,1)+ 0 * (3,2,2)  - 0,25 *(4,0,0)

=   4*(2,1,1)  - 0,5  * (3,2,2)  - 0,375 *(4,0,0)

etc.  mit den ersten beiden bekommst du immer die

zwei 3en hin und mit dem letzten dann die erste Komponente

passend machen.

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Sind es dann also doch unendlich viele?

=   2*(2,1,1)+ 0,5 * (3,2,2)  + 0,125 *(4,0,0) 

Diese Lösung ist übrigens falsch