Aufgaben:
a) \( \operatorname{lm} \mathrm{R}^{4} \) sind die folgenden 5 Vektoren gegeben:
\( \left(\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 0 \\ -2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \)
Zeigen Sie, dass jeder Vektor des \( \mathrm{R}^{4} \) sich als Linearkombination dieser 6 Vektoren schreiben lässt.
b) Offensichtlich sind der 1 . und der 5 . Vektor linear abhängig. Zeigen Sie, dass man jeden Vektor des \( \mathrm{R}^{4} \) als Linearkombination der Vektoren \( \left(\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 0 \\ -2\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ -1 \\ 1\end{array}\right) \)
schreiben kann. D. h. man kann auf einen der beiden Vektoren verzichten.
c) Beweisen Sie nun die gleiche Aussage allgemein: \( V \) sei ein reeller Vektorraum. Jeder Vektor \( \mathrm{v} \in \mathrm{V} \) lasse sich als Linearkombination der Vektoren \( \mathrm{v}_{1}, \mathrm{v}_{2}, \ldots \mathrm{v}_{\mathrm{n}} \) schreiben. Alle diese Vektoren seien \( \neq 0 \). Die beiden Vektoren \( \mathrm{v}_{1} \) und \( \mathrm{v}_{2} \) seien linear abhängig. Zeigen Sie: Dann lässt sich jeder Vektor \( v \in V \) als Linearkombination der Vektoren \( v_{2}, \ldots v_{n} \) schreiben (d. h. auf den ersten Vektor kann man verzichten)
