Aufgabe:
Welche Eigenschaft gilt für jede nxm Matrix A und jede mxn Matrix B ?
Mögliche Antworten:
a) Wenn \(AB = I_n\) gilt, dann ist n=m und \(A\) und \(B\) invertierbar.
b) Falls \(AB\) invertierbar ist, dann ist \(m≥n.\)
c) Ist \(AB\) die Nullmatrix, dann ist \(A\) oder \(B\) die Nullmatrix.
d) Wenn \(A^TA\) = BB^T\) gilt, so ist \(A = B.\)
Frage:
Mir wurde gesagt, dass b die Lösung sei.
Aber wie kommt man darauf, bzw. wie kann ich das herausfinden ?
Meine Meinung zu den anderen:
c)
kann ich ausschliessen, denn auch zwei Matrizen ungleich Nullmatrix können die Nullmatrix ergeben.
a)
In diesem Fall müsste B die Inverse von A sein, denn nur so erhält man die Einheitsmatrix.
Dann muss das Produkt AB selbst quadratisch sein. Aber so viel ich weiss, können auch zwei nichtquadratische Matrizen miteinander multipliziert eine Quadratische matrix ergeben.
Gegenbeispiel:
A ∈ Mat(3x2) B ∈ Mat(2x3) ⇒ AB ∈ Mat(3x3).
AB ist invertierbar, da quadratisch.
Aber A und B einzeln nicht, da nicht quadratisch.
d) Hier habe ich kein Beispiel wieso es nicht funktioniert, vielleicht kann mir das jemand erklären ?
