Matrizen sind ähnlich <=> Eigenschaft von Ähnlichkeit

Question

Hi, ich muss beweisen oder widerlegen, ob aus den Eigenschaften die aus Ähnlichkeit folgen direkt die Ähnlichkeit folgt. Ich weiß bereits, dass die Aussage falsch ist, also dass A,B ähnlich => Eigenschaften von Ähnlichkeit Ich bin jetzt schon seit geraumer zeit nach der suche nach einem Gegenbeispiel. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben oder direkt ein Gegenbeispiel nennen könnte. Falls ich mit meiner Annahme falsch liege, also das <=> gilt, dann sagt mir das bitte, auch wenn ich sehr davon überzeugt bin, dass das nicht so ist xD

Comments

Welche Eigenschaften der Ähnlichkeit betrachtest du denn? Winkeltreu? Nur wie definierst du in dem Fall Winkel zwischen Matrizen? Abbildungen?

Kannst du hiermit was anfangen: ?

https://www.mathelounge.de/21531/die-ahnlichkeit-der-matrizen

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Ich betrachte zwei beliebige Matrizen A,B mit folgenden Eigenschaften:

Rang A= Rang B

Spur A= Spur B

det A= det B

gleiche eigenwerte (dass das chara polynom gleich sein muss ist nicht gefordert)

gleiche dimension

Wenn diese 5 Eigenschaften gelten folgt direkt A und B sind ähnlich

 

Jo den Link hab ich schon gesehen, aber ich such ja ein explizites Gegenbeispiel, auch wenn ich nicht alle eigenschaften von ähnlichkeit habe

Answer 1

Rang A= Rang B
Spur A= Spur B
det A= det B
gleiche eigenwerte (dass das chara polynom gleich sein muss ist nicht gefordert)
gleiche dimension

Wenn diese 5 Eigenschaften gelten folgt direkt A und B sind ähnlich ?

Nein. Gegenbeispiel:$$A=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)$$