Zeigen Sie das die beiden Matrizen ähnlich zueinander sind:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie das die beiden Matrizen ähnlich zueinander sind:

A= \( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \)

B= \( \begin{pmatrix} 82 & 101 \\ -61 & -75 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe es gelernt, dass man die beiden charakteristischen Polynome vergleichen muss.

Ich habe für beide das gleiche rausbekommen. Auch die Eigenwerte stimmen überein.

Meine Frage ist:

B-\lambda = P*(A-\lambda)*Q

Ich dachte P bekomme ich über die Eigenwerte. Aber das hat leider nicht funktioniert. Kann mir bitte jemand erklären wie ich auf P komme?

Answer 1

Über die EW bekommst Du

\(\scriptsize D \, :=  \, \left(\begin{array}{rr}\frac{1}{2} \; \left(-\sqrt{5} + 7 \right)&0\\0&\frac{1}{2} \; \left(\sqrt{5} + 7 \right)\\\end{array}\right)\)

sind also ähnlich

D = T_b^-1 B T_b

D = T_a^-1 A T_a

\(\scriptsize \left(\begin{array}{rr}\sqrt{5} - 157&-\sqrt{5} - 157\\122&122\\\end{array}\right)^{-1}  \, B\, \left(\begin{array}{rr}\sqrt{5} - 157&-\sqrt{5} - 157\\122&122\\\end{array}\right)  \, =  \, \left(\begin{array}{rr}-\sqrt{5} - 3&\sqrt{5} - 3\\2&2\\\end{array}\right)^{-1} \, A \, \left(\begin{array}{rr}-\sqrt{5} - 3&\sqrt{5} - 3\\2&2\\\end{array}\right)\)

was willst Du noch abarbeiten?

App dazu

https://www.geogebra.org/m/upUZg79r