Zeige, dass keine Matrix mit folgender Eigenschaft existiert.

Question

Aufgabe:

Hey Leute,

ich soll zeigen, dass keine Matrix A∈ℝ^3x3 existiert mit:

A² = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\3 & 2 & 1\end{pmatrix} \)

Nur hab ich keine Idee, wie man da vorgehen kann. Danke für die Hilfe :)

Answer 1

Gäbe es eine reelle Matrix \(A\) mit der geforderten Eigenschaft,

dann wäre \(\det(A)^2=\det(A^2)=-3\). Es gibt aber keine

reelle Zahl, deren Quadrat -3 ist.

Answer 2

Dann nimm dir eine Matrix \( \begin{pmatrix} a & b& c\\ d & e & f\\g & h & i\end{pmatrix} \) und quadriere sie.

Mache elementweise einen Vergeich des Ergebnisses mit \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1\\3 & 2 & 1\end{pmatrix} \) und führe diesen zum Widerspruch. Mein nächste Gedanke wäre eine nicht zulässige Determinante gewesen, aber da war ermanus schneller...

Comments

Viel zu aufwendig.

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Ja, die Befürchtung hatte ich auch. Aber bevor ich mich nachschlagenderweise vergewissern konnte ...

Da schließt sich bei mir aber die Frage an: Gibt es eigentlich auch Matrizen mit positiver Determinante, die kein Quadrat einer anderen Matrix sind?