Zeige ferner, dass U durch diese universelle Eigenschaft bis auf ein eindeutige Isomorphie bestimmt ist.

Question

Aufgabe:

Sei f V -> W eine lineare Abb., zeige, dass es einen VR U und eine lineare Abb. i: U -> V mit folgender universeller Eigenschaft gibt: Es ist f °i =0 und für jeden VR T und jede lineare Abb. t: T -> V mit der Eigenschaft f °t=0 existiert genau eine lineare Abb. t': T -> U mit i °t'=t.

Zeige ferner, dass U durch diese universelle Eigenschaft bis auf ein eindeutige Isomorphie bestimmt ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir das zwar als Bildchen dargestellt, jedoch komme ich komplett durcheinander beim lesen und verstehe dann im Endeffekt nicht mal was hier von mir gewollt ist und wäre deshalb über jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Wegen \( f \circ i=0 \) muss schonmal \( \operatorname{im}(i) \subseteq \operatorname{ker}(f) \) gelten. Also kann man beispielsweise \( U=\operatorname{ker}(f) \subseteq V \) und \( i=\operatorname{id}_{\text {ker }(f)} \) wählen.

Nun müssen wir die universelle Eigenschaft beweisen, wobei wie wir oben feststellen, dass \( f \circ t=0 \Longrightarrow \operatorname{im}(t) \subseteq \operatorname{ker}(f): \) Wir haben also

\(\begin{aligned}i \circ t^{\prime}=t \Longleftrightarrow \mathrm{id}_{\operatorname{ker}(f)} \circ t^{\prime}=t \Longleftrightarrow t^{\prime}=t .\end{aligned}\)

Schaffst du den "Eindeutig bis auf Isomorphie"-Beweis alleine?