Universelle Eigenschaft der direkte Summe

Question

Sei K ein Körper, I eine Menge und (V_i)_i∈I   eine Familie von K-Vektorräumen. Betrachten die direkte Summe:

⊕_i∈I V_i  = { (v_i)_i∈I | v_i  = 0 für fast alle i }

und für j ∈ I die Abbildung:  φ_j : V_j → ⊕_i∈I  V_i : w ↦ (v_i)_i∈I mit

v_i ={w    falls i = j

{ 0    sonst

Zu zeigen :

a) Die φ_j sind K-lineare injektive Abbildungen (die natürliche Einbettungen genannt).

b) Sei (f_i : V_i → W)_i∈I eine Familie von K-lineare Abbildungen. Dann existiert eine eindeutige
K-lineare Abbildung F: ⊕_i∈I V_i  → W, so dass für alle i ∈ I gilt: F ° φ_i = f_i 

Answer 1

Zu a)

Mithilfe des Kronecker-Delta \(\delta_{ij}\) können wir \(\phi_j\) so definieren:

\( \phi_j: \; V_j \rightarrow \bigoplus_{i\in I} V_i,\quad w\mapsto (\delta_{ij}\cdot w)_ {i \in I} \)

Seien \(u,w\in V_j, \lambda\in K\), dann hat man

\(\phi_j(u+\lambda w)=( \delta_{ij}\cdot(u+\lambda w))_{i\in I} = ( \delta_{ij}\cdot u+\lambda\cdot\delta_{ij}\cdot w)_{i\in I} = \)

\( = (\delta_{ij}\cdot u)_{i\in I}+\lambda\cdot(\delta_{ij}\cdot w)_{i\in I} = \phi_j(u)+\lambda \phi_j(w)\),

d.h. \(\phi_j\) ist \(K-\)linear. Ferner gilt

\( \phi_j(w)=0 \Rightarrow ( \delta_{ij} \cdot w)_{i\in I}=(0)_{ i \in I} \).

Die \(j-\)te Komponente liefert \(w=0\), also Kern(\( \phi_j)=\{0\}\).

Zu b)

Da \(F\) linear sein soll, haben wir

\(F((v_i)_{i \in I})=F(\sum_{i \in I}\phi_i(v_i))=\sum_{i\in I}F(\phi_i(v_i))=\sum_{i\in I}f_i(v_i)\),

wobei immer nur endlich viele Summanden \(\neq 0\) sind.

\(F\) ist also durch die \(f_i\) eindeutig festgelegt.