Wie viele verschiedene Dominosteine dieser Art gibt es? - Aufgaben zu Multimengen

Question

Aufgabe:

Multimengen - Bitte begründen Sie ihre Antworten

a) Ein Dominostein besteht aus zwei Quadraten. In jedem Quadrat sei eine Zahl zwischen 1
und 7 durch Punkte dargestellt. Wie viele verschiedene Dominosteine dieser Art gibt es?

b) Wieviele mögliche Ergebnisse gibt es beim gleichzeitigen Würfeln mit n nicht unterscheidbaren
Würfeln (Ergebnis sind dabei die Punkte der einzelnen Würfel, also wäre zum
Beispiel mit fünf Würfeln (1,2,2,4,5) ein Ergebnis)?

Problem/Ansatz:

a) Ich habe mir das ganze mal aufgemalt und komme auf 28 (wenn man die Dominosteine 1, 2 und 2, 1 als gleich betrachtet)

7 Steine mit 2 gleichen Zahlen + 6 Steine wo 1 mit einer anderen Zahl zusammen steht + 5 Steine wo 2 mit einer anderen Zahl zusammen steht + 4 Steine für die 3 + 3 Steine für die 4 + 2 Steine für die 5 + 1 Stein für die 6

Ich bin mir allerdings nicht sicher wie genau das verschieden gemeint ist. Weiterhin habe ich keine Ahnung wie ich das formal zeigen soll.

b) Hier fehlt mir jegliche Idee

Würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte

Comments

Dürfen die Zahlen auch doppelt vorkommen?

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Was genau meinst du mit doppelt? Wenn du beispielsweise einen Dominostein 1,1 oder 2, 2 meinst, denke ich sollte das erlaubt sein.

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Die Domino-Steine bilden doch einfach alle 2-Multimengen aus der Menge der Zahlen von 1 bis 7. Für die Anzahl dieser Multi-Mengen habt Ihr doch sicher eine Formel hergeleitet, so etwas wie

$${7+2-1 \choose 7-1}=28$$

Answer 1

Die Summe der natürlichen Anzahlen 1 bis 7 hat schon der 9-jährige C.F. Gauß mit 28 berechnet

Comments

Ja okay, das habe ich ja auch. Mir geht es aber darum wie ich das formal beweisen kann? Die Gaußsche Summenformel hat ja denke ich eher weniger was mit Multimengen zu tun

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Wie ist denn der Begriff 'Multimenge' definiert? Ich kenne ihn nach 70 Jahren Auseinandersetzung mit der Mathematik nicht.

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Die Definition die im Skript verwendet wird ist folgende:

Definition 1.11.1 Eine Multimenge M ist eine Abbildung a:
M → ℕ₀. Man sagt, dass x ∈ M ein a(x)-faches Element von M
ist.
Für |M| <  ∞ ist die Anzahl der Elemente von M definiert als
|M| = \( \sum\limits_{x ∈ M}{a(x)} \).

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Dann werden hier wohl Paarmengen auf ihre Mächtigkeiten abgebildet (?):

{(1|1)}→1

{(2|1),(2,2)}→2

{(3|1),(3,2),(3|3)}→3

und so weiter.