Ist die gegebene Funktion (f(x,y)) stetig?

Question

Aufgabe:

\( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}0 & (x, y)=(0,0) \\ \frac{2 x y^{3}}{x^{2}+y^{6}} & (x, y) \neq(0,0)\end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Man soll überprüfen, ob die gegebene Funktion stetig ist - Ich bin mir aber nicht ganz sicher, wie ich vorgehen soll!

Ich vermute mal, dass Sie nicht stetig ist, da

1.) Wenn x =y³

\( \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2y^{3} y^{3}}{(y^{3})^{2}+y^{6}}=\lim \limits_{y \rightarrow 0} \frac{2y^{6}}{2 y^{6}}=1 \)

2.) Wenn x=y

\( \lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2yy^{3}}{y^{2}+y^{6}}= \lim \limits_{y \rightarrow 0} \frac{2y^{4}}{y^{2} +y^{6}}= 0 \)

Ist meine überlegung soweit richtig und würde das als Begründung bzw. Beweis ausreichen?

Answer 1

Aloha :)

Ja, deine Begründung reicht völlig aus. Es reicht, wenn du einen einzigen Weg zum Punkt \((0|0)\) findest, auf dem sich die Funktion nicht dem Funktionswert \(f(0;0)=0\) annähert.

Auf dem von dir gewählten Weg hat die Funktion stets den Wert \(1\) und konvergiert dann auch im Grenzwert nach \((0|0)\) gegen \(1\).

Den zweiten Weg \((x=y)\) brauchst du schon gar nicht mehr zu betrachten.

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Vielen Dank für deine Hilfe