AUFGABE:
Gibt es eine lineare Abbildung \( F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit
\( F(2,0)=(0,1), F(1,1)=(5,2), \quad F(1,2)=(2,3) ? \)
Mein ANSATZ für die Aufgabe ist:
1. Zuerst schreibe ich die gegebenen Vektoren als Spaltenvektoren um: \( F\left(\begin{array}{l}2 \\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right) \), \( F\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}5 \\ 2\end{array}\right) \) und \( F\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3\end{array}\right) \)
2. Da eine lineare Abbildung \( F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) durch die Multiplikation mit einer \( 2 \times 2 \)-Matrix beschrieben werden kann, suche ich eine Matrix \( A \) der Form
\( \begin{array}{l} A=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right), \\ \text { so dass } A F(2,0)=(0,1), A F(1,1)=(5,2), A F(1,2)=(2,3) . \end{array} \)
3. Um die Elemente der Matrix A zu finden, setze ich die Gleichungen auf, die sich aus der Matrixmultiplikation ergeben, und löse das resultierende lineare Gleichungssystem.
4. Wenn ich eine Lösung für die Matrix \( A \) finde, bedeutet das, dass es eine lineare Abbildung F gibt, die den gegebenen Bedingungen entspricht. Wenn keine Lösung gefunden werden kann, gibt es keine solche lineare Abbildung.
