AUFGABE
Sei
\( A:=\left(\begin{array}{cccc} -2 & 3 & 2 & 3 \\ -3 & 5 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & -2 & -2 \end{array}\right) \)
und \( f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) die durch \( f(x)=A x \) gegebene lineare Abbildung. Bestimmen Sie Basen \( \mathfrak{A} \) von \( \mathbb{R}^{4} \) und \( \mathfrak{B} \) von \( \mathbb{R}^{3} \) mit
\( \mathcal{M}_{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{A}}(f)=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) . \)
Mein ANSATZ für diese Aufgabe ist:
1. Zuerst berechne ich die reduzierte Zeilenstufenform (RZF) der Matrix A. Dies gibt uns Hinweise auf die Basisvektoren für den Bildraum von \( \mathrm{f} \).
2. Dann benutze ich die RZF von \( A \), um die Basis für den Bildraum von f, also die Basis für \( \mathbb{R}^{3} \), zu finden. Diese Basis bildet den Basisvektorsatz \( \mathfrak{B} \) für \( \mathbb{R}^{3} \).
3. Um die Basis für \( \mathbb{R}^{4} \) zu finden, betrachte ich die Matrix der linearen Abbildung \( \mathrm{f} \) in der gegebenen Form:
\( \mathcal{M}_{\mathfrak{B}}^{\mathfrak{A}}(f)=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \)
Da wir bereits \( \mathfrak{B} \) kennen, konzentrieren wir uns auf die Suche nach einer Basis \( \mathfrak{A} \) für \( \mathbb{R}^{4} \).
4. Um die Basis \( \mathfrak{\mathcal { A }} \) für \( \mathbb{R}^{4} \) zu finden, suchen wir vier linear unabhängige Vektoren, die die gegebene Matrixstruktur für die Abbildung f erfüllen. Dabei müssen wir sicherstellen, dass die ersten beiden Vektoren im Bildraum von A sind und die letzten beiden Vektoren im Kern von A liegen.
5. Sobald wir die Basis \( \mathfrak{A} \) für \( \mathbb{R}^{4} \) gefunden haben, haben wir die gewünschten Basen \( \mathfrak{A} \) und \( \mathfrak{B} \) für diese Aufgabe bestimmt.
