AUFGABE
Gegeben sei \( V_{n}:=\operatorname{Span}\left(1, x, x^{2}, \ldots, x^{n}\right) \subset \operatorname{Abb}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \) mit der Basis \( \mathfrak{B}_{n}=\left(1, x, x^{2}, \ldots, x^{n}\right) \) und
\( \mathcal{D}_{n}: V_{n} \rightarrow V_{n-1}, \quad f \mapsto f^{\prime} \)
(a) Bestimmen Sie die Matrix \( \mathcal{M}_{\mathfrak{B}_{n-1}}^{\mathfrak{B}_{n}}\left(\mathcal{D}_{n}\right) \).
(b) Zeigen Sie dass es eine lineare Abbildung \( \mathcal{I}_{n}: V_{n-1} \rightarrow V_{n} \) gibt mit \( \mathcal{D}_{n} \circ \mathcal{I}_{n}= \) id und bestimmen Sie \( \mathcal{M}_{\mathfrak{B}_{n}}^{\mathfrak{B}_{n-1}}\left(\mathcal{I}_{n}\right) \)
Mein ANSATZ für die Aufgabe ist:
(a) Um die Matrix \( \mathcal{M}_{\mathfrak{B}_{n-1}}^{\mathfrak{B}_{n}}\left(\mathcal{D}_{n}\right) \) zu bestimmen, berechne ich die Ableitung für jedes Element der Basis \( \mathfrak{B}_{n}=\left(1, x, x^{2}, \ldots, x^{n}\right) \) und drücke sie in Bezug auf die Basis \( \mathfrak{B}_{n-1} \) aus. Die resultierenden Koeffizienten bilden die Spalten der Matrix.
(b) Um zu zeigen, dass es eine lineare Abbildung \( \mathcal{I}_{n}: V_{n-1} \rightarrow V_{n} \) gibt mit \( \mathcal{D}_{n} \circ \mathcal{I}_{n}= \) id, betrachte ich die Integration der Elemente der Basis \( \mathfrak{B}_{n-1}=\left(1, x, x^{2}, \ldots, x^{n-1}\right) \).
1. Ich integriere jedes Element der Basis \( \mathfrak{B}_{n-1} \) und füge dabei eine Konstante hinzu, um die Integrationskonstante zu berücksichtigen.
2. Ich zeige, dass die resultierenden Funktionen in \( V_{n} \) liegen, indem ich sie in Bezug auf die Basis \( \mathfrak{B}_{n} \) ausdrücke.
3. Ich zeige, dass die Komposition \( \mathcal{D}_{n} \circ \mathcal{I}_{n} \) die ldentität ist, indem ich die Ableitung der Funktionen aus Schritt 2 berechne und verifiziere, dass sie die ursprünglichen Elemente der Basis \( \mathfrak{B}_{n-1} \) ergeben.
4. Um die Matrix \( \mathcal{M}_{\mathfrak{B}_{n}}^{\mathfrak{B}_{n-1}}\left(\mathcal{I}_{n}\right) \) zu bestimmen, drücke ich die in Schritt 1 integrierten Funktionen in Bezug auf die Basis \( \mathfrak{B}_{n} \) aus. Die resultierenden Koeffizienten bilden die Spalten der Matrix.
