Bestimme für jedes p ∈ {2,3,5,7} die Elemente der Menge {n ∈ ℕ ∪ {0} : p | 2n + 3}.

Question

Aufgabe:

Bestimme für jedes p ∈ {2,3,5,7} die Elemente der Menge {n ∈ ℕ ∪ {0} : p | 2ⁿ + 3} und für p ∈ {2,3,5,7,13} die Elemente der Menge {n ∈ ℕ ∪ {0} : p | n¹³ - n}.

So mir ist jetzt beispielsweise für p = 2 klar, dass die erste Menge {0} ist. Oder bei der der zweiten Menge ist für p = 13 die Menge ganz ℤ, wegen folgendem Satz:

Sei p eine Primzahl und a ∈ ℤ. Dann gilt: a^p ≡ a mode p.

Aber bei den anderen p ist mir nicht klar, wie ich drauf kommen soll. Da muss es doch einen Trick/Satz geben, der einem bei allen hilft. Hoffe mir kann jemand helfen.

Answer 1

Bei der ersten für p=3 müsste man überlegen

3 |  2ⁿ + 3    Dann müsste ja auch 3 | 2ⁿ  gelten. Das gilt aber nicht,

also ist für p=3 die Menge leer.

Comments

Ja die Menge hatte ich auch noch so gelöst. Aber wusste nicht genau wie ich argumentieren kann, dass 3 nicht 2ⁿ teilt. Hast du eine Idee für die anderen oder haben die alle keinen gemeinsamen Trick?

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Aber wusste nicht genau wie ich argumentieren kann, dass 3 nicht 2ⁿ teilt.

Etwa so:  2^n hat nur die 2en als Primfaktoren, also

insbesondere keine 3, kann also nicht durch 3 teilbar sein.

Für die 5 hätte ich noch eine Idee.

Für n=0 geht es nicht aber für n=1 schon.

Und wenn es für ein n geht, dann auch für n+4,

denn 2ⁿ⁺⁴ = 2ⁿ*16=2ⁿ*(15+1)=2ⁿ*15 + 2ⁿ

Wenn also 2ⁿ+3 durch 5 teilbar war, dann ist

2ⁿ⁺⁴+3=2ⁿ*15 + 2ⁿ + 3   und da ist der

1. Summand durch 5 teilbar und für 2ⁿ + 3 sollte es

ja auch sein.

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Mit der 7 geht es so ähnlich, das klappt bei n=2

und dann immer um 3 weiter, weil 2^3=8 = 7+1.