Wie viele Körperhomomorphismen von Q[√] nach C gibt es?

Question

Aufgabe:

Seien und Körper. Die Abbildung ∶ Q[√d] → C ist ein Körperhomomorphismus sei d∈ Q. Wie viele Körperhomomorphismen von Q[√d] nach C gibt es?

Problem/Ansatz:

ich verstehe komplett nicht wie ich da vorgehen soll. Vielleicht kann mir hier ja jemand helfen ?:)

Answer 1

Ist \(\varphi:\mathbb{Q}[\sqrt{d}]\to\mathbb{C}\) ein Körperhomomorphismen, dann ist

        \(\varphi(1) = 1\)

und somit \(\varphi\left(q\right) = q\) für alle \(q\in \mathbb{Q}\).

Also ist auch \(\varphi(d) = d\) und somit

        \(\varphi(\sqrt{d})\cdot \varphi(\sqrt{d}) = d\).

Überlege dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, \(\varphi(\sqrt{d})\) so festzulegen, dass obige Gleichung gilt.