Alle Lösungen der Gleichungen bestimmen

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 3 (14 Punkte). (i) Bestimmen Sie alle Lösungen \( x \in \mathbb{R} \) der folgenden Gleichungen. Beachten Sie dabei, welche \( x \) aufgrund der Definitionsbereiche der verwendeten Funktionen überhaupt in Frage kommen.
(8P.)
(a) \( \log \left(x^{4}\right)=1 \),
(b) \( \exp (17 x)=1 \),
(c) \( \log \left(x^{2}-1\right)=\log (x)+1 \),
(d) \( \log \left(-x^{2}+2 e x\right)=2 \).
(ii) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach \( x \) auf.
\( (6 \mathrm{P} \).
(a) \( y=\frac{\exp (x)}{1+\exp (x)} \) für \( y \in(0,1) \)
(b) \( y=\log \left(x^{2}+1\right)+\log \left(x^{2}-1\right) \) für \( y \in(-\infty, \infty) \).

Problem/Ansatz:

Ich brauche etwas Unterstützung. Bei der a): Meine Idee wäre jetzt durch exp zu teilen. Dann habe ich x^4 = e. Dann nehme ich die 4te Wurzel und erhalte x= 4 Wurzel von e > 0. Wäre das so korrekt? Wäre ich jetzt fertig? Könnte ich bei den restlichen Aufgaben ähnlich verfahren?

Answer 1

\( \log \left(x^{4}\right)=1 \)
<=> \( x^{4} =e \)

<=> \( x^{2} =\sqrt{e} \)  x^2 kann ja nicht neg. sein.

<=> \( x = \pm \sqrt{\sqrt{e}} \)