Aufgabe:
Sei (X, d) ein metrischer Raum und sei A ⊂ X.
(a) (2 Bonuspunkte) Sei A kompakt. Zeigen Sie, dass A, versehen mit der Relativmetrik, vollständig ist.
(b) (4 Bonuspunkte) Sei A total beschränkt. Zeigen Sie, dass jede Folge in A eine Cauchy-Teilfolge besitzt. (Hinweis: Sei (xn) eine Folge in A. Konstruieren Sie rekursiv eine Folge (Bk) von Kugeln mit Radius 1/k und eine Teilfolge (xnk ) von (xn) mit xnk ∈
B1 ∩ . . . ∩ Bk.)
(c) (2 Bonuspunkte) Zeigen Sie, dass A genau dann kompakt ist, wenn A total beschränkt und vollständig ist.
Problem/Ansatz:
Ich habe keine Ahnung, wo man da ansetzen könnte. Der Prof meinte in der Vorlesung nur "Das ist schwer, das können Sie ohne mich probieren". Ich hab die Bonuspunkte bitter nötig, wäre echt dankbar für Hilfe...
