Zeigen Sie, dass dann f auf K gleichmässig weg von 0 beschränkt ist

Question

Sei (X,d) ein metrischer Raum.

Für nichtleere Teilmengen A,B⊆X heißt
δ(A,B) := inf{d(x,y) | x ∈ A,y ∈ B} ∈ [0,∞[
der Abstand von A und B.

Aufgabe: Sei f : X → R stetig und K ⊂ X kompakt, so dass f(x) > 0, für alle x ∈ K. Zeigen Sie, dass dann f auf K gleichmässig weg von 0 beschränkt ist, d.h. es existiert ein ε > 0, so dass f(x) ≥ ε, für alle x ∈ K.

Ich brauche bitte Hilfe

Comments

Hallo: Ein Weg ist, sich zu überlegen, dass die Verneinung der Behauptung (u.a.) bedeutet, dass eine Folge \((x_n)\) in K existiert mit \(f(x_n)  \to 0\) ....

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K ist kompakt. Stetige Funktionen schicken Kompakte auf Kompakta, also ist f(K) kompakt.

Teilmenge von IR sind kompakt gdw sie Beschränkt und abgeschlossen sind. Also ist f(K) beschränkt und abgeschlossen. Du kannst also min f(K) bestimmen: den Minimalwert von f auf K.

Dieser ist nach Voraussetzung >0. Wenn aber schon der Minimalwert > 0 ist muss die Funktion auf ganz K >0 sein.