Sei \( \left(X_{1}, X_{2}\right) \) ein Zufallsvektor mit der Dichte
\( f_{\left(X_{1}, X_{2}\right)}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left\{\begin{array}{ll}c x_{1}, & x_{1}, x_{2} \in[0,1] \text { und } x_{1}+x_{2} \leq 1 \\ 0, & \text { sonst. }\end{array}\right. \)
Bestimme die Dichten der Verteilungen von \( X_{1} \) und \( X_{2} \).
Ist Folgendes richtig?
Für \( X_{1} \) erhalten wir:
\( f_{X_{1}}\left(x_{1}\right)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} f_{\left(X_{1}, X_{2}\right)}\left(x_{1}, x_{2}\right) d x_{2} \)
Da \( f_{\left(X_{1}, X_{2}\right)}\left(x_{1}, x_{2}\right)=3 x_{1} \) für \( x_{1}, x_{2} \in[0,1] \) und \( x_{1}+x_{2} \leq 1 \) und 0 sonst, können wir das Integral einschränken:
\( f_{X_{1}}\left(x_{1}\right)=\int \limits_{0}^{1-x_{1}} 3 x_{1} d x_{2}=3 x_{1}\left(1-x_{1}\right) \)
die Dichtefunktion von \( X_{1} \) ist gegeben durch \( f_{X_{1}}\left(x_{1}\right)=3 x_{1}\left(1-x_{1}\right) \) für \( x_{1} \in \) \( [0,1] \)
Für \( X_{2} \):
\( f_{X_{2}}\left(x_{2}\right)=\int \limits_{-\infty}^{\infty} f_{\left(X_{1}, X_{2}\right)}\left(x_{1}, x_{2}\right) d x_{1} \)
Einschränken des Integrals ergibt:
\( f_{X_{2}}\left(x_{2}\right)=\int \limits_{0}^{1-x_{2}} 3 x_{1} d x_{1}=\frac{3}{2}\left(1-x_{2}\right)^{2} \)
dichtefunktion von \( X_{2} \) ist gegeben durch \( f_{X_{2}}\left(x_{2}\right)=\frac{3}{2}\left(1-x_{2}\right)^{2} \) für \( x_{2} \in[0,1] \).
