Bestimmen Sie die Winkelweite des Winkels (Hyperbolisch)

Question

Aufgabe:

4.4 (a) Beweisen Sie, dass durch
$\mathfrak{C}(z):=\frac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}} \text { für } z \in \mathbb{H}^{2}$
eine bijektive Abbildung $\mathfrak{C}: \mathbb{H}^{2} \rightarrow \mathbb{D}^{2}$ definiert ist.
(b) In $\mathbb{H}^{2}$ betrachten wir die Punkte $\mathbf{A}:=2 \mathrm{i}, \mathbf{B}:=2+\mathrm{i}$ und $\mathbf{S}:=\mathrm{i}$ und setzen
$\mathbf{A}^{\prime}:=\mathfrak{C}(\mathbf{A}), \quad \mathbf{B}^{\prime}:=\mathfrak{C}(\mathbf{B}) \quad \text { und } \quad \mathbf{S}^{\prime}:=\mathfrak{C}(\mathbf{S})$
Bestimmen Sie die Winkelweite des Winkels $\angle_{\text {ASB }}$ in $\mathbb{H}^{2}$ und zeigen Sie, dass diese Winkelweite mit der Winkelweite des Winkels $\angle \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{S}^{\prime} \mathbf{B}^{\prime}$ in $\mathbb{D}^{2}$ übereinstimmt.
(je 5 Punkte)

Problem/Ansatz:

Aufgabe a ist nur zum Kontext mit abgetippt. Bei Aufgabe b hängen wir etwas bei Winkelweiten. Vom Tutor haben wir für B` folgendes als Lösung, aber irgendwie bekommen wir beim Nachrechnen auf ein anderes Ergebnis.

B'=$\frac{4-2i}{5}$

Wir wären für eine Erklärung des Rechenweges dankbar, es handelt sich wahrscheinlich irgendwo um einen relativ kleinen Fehler in unsere Rechnung, weswegen wir nicht weiterkommen.