Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreieckes ABC (Vektoren)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreieckes ABC.

a) A(1,1,1) ; B(7,4,7) ; C(5,6,-1)

Problem/Ansatz:

Kann ich das auch ohne das Kreuzprodukt rechnen?

Answer 1

Hallo,

mit AB=u und AC=v kannst du den Flächeninhalt mit

A=½•|u|•|v|•sinα

ausrechnen.

Den Winkel α kannst du mit dem Skalarprodukt bestimmen.

:-)

Comments

Den Winkel α kannst du mit dem Skalarprodukt bestimmen.

Danke! Aber habe gerade nachgerechnet und habe für AB= (6,3,6) raus und für AC= (4,5,-2) aber wenn ich nun den Winkel alpha ausrrechnen möchte mit dem Skalaprodukt der beiden Punkte kommt beim mir Error im Taschenrechner raus...

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.. kommt beim mir Error im Taschenrechner raus..

dann lege den TR doch mal zur Seite und rechne selber:$$\begin{aligned} A&=\frac{1}{2} |u|\cdot |v| \cdot \sin(\alpha) \\ &= \frac{1}{2} |u|\cdot |v| \cdot \sqrt{1-\cos^2(\alpha)} \\ &= \frac{1}{2} |u|\cdot |v| \cdot \sqrt{1-\left(\frac{uv}{|u|\cdot|v|}\right)^2} \\ &= \frac{1}{2} |u|\cdot |v| \cdot \sqrt{\frac{u^2\cdot v^2 - (uv)^2}{u^2\cdot v^2}} \\ &= \frac{1}{2}  \sqrt{u^2\cdot v^2 - (uv)^2} \\ \end{aligned}$$und in Deinem Fall ist

... habe für AB= (6,3,6) raus und für AC= (4,5,-2)

$$u^2 = 6^2+3^2+6^2 = 81 \\ v^2 = 4^2+5^2+(-2)^2 = 45 \\ uv = 6\cdot 4 + 3 \cdot 5 + 6 \cdot (-2) = 27 \\ \implies A = \frac12 \sqrt{81 \cdot 45 - 27^2} \\ \phantom{\implies A}= \frac92\sqrt{45 - 9} = 27$$lässt sich locker im Kopf ausrechnen.

Answer 2

c = |AB| = |[6, 3, 6]| = 9

b = |AC| = |[4, 5, -2]| = 3·√5

a = |BC| = |[-2, 2, -8]| = 6·√2

Hier die drei gängigsten Verfahren:

Mit Winkel

COS(φ) = [6, 3, 6]·[4, 5, -2]/(ABS([6, 3, 6])·ABS([4, 5, -2])) --> φ = 63.43°

A = 1/2·9·3·√5·SIN(63.43°) = 27.00

Satz von Heron

A = √(1/2·(6·√2 + 3·√5 + 9)·(1/2·(6·√2 + 3·√5 + 9) - 6·√2)·(1/2·(6·√2 + 3·√5 + 9) - 3·√5)·(1/2·(6·√2 + 3·√5 + 9) - 9)) = 27

Kreuzprodukt

A = 1/2·ABS([6, 3, 6] ⨯ [4, 5, -2]) = 27