Mehrdimensinale Funktion auf Stetigkeit überprüfen

Question

Aufgabe:

\( f_{1}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f_{1}(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3 x^{2} y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Folgende Funktion, soll ich auf Stetigkeit untersuchen (ich vermute nach grober Überlegung, dass Sie stetig ist). Jetzt weiß ich allerdings noch nicht, wie im mehrdimensionalen formal richtig vorzugehen ist (ohne der Verwendung von Polarkoordinaten).

Danke für Hilfe!

Answer 1

Es genügt wohl, Stetigkeit im Ursprung zu zeigen. Für alle \((x,y)\ne(0,0)\) gilt$$\begin{aligned}&&0&<{(x^2-y^2)}^2+(xy)^2\\\iff&&0&<x^4-x^2y^2+y^4\\\iff&&3x^2y^2&<x^4+2x^2y^2+y^4\\\iff&&3x^2y^2&<{(x^2+y^2)}^2\\\iff&&\frac{3x^2y^2}{x^2+y^2}&<x^2+y^2.\end{aligned}$$

Comments

Vielen, vielen Dank für deine Hilfe