Aufgabe 3:
Gegeben sei die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc} \frac{y^{2}}{x^{4}+y^{2}} & , \text { falls } & (x, y) \neq(0,0) \\ 1 & , \text { falls } & (x, y)=(0,0) . \end{array}\right. \)
d) überprüfe, ob diese im Nullpunkt stetig sind.
Lösung:
a) Man betrachte die Nullfolge \( \left(\frac{1}{k}, 0\right) \) mit \( k \in \mathbb{N} \). Dann gilt
\( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} f\left(\frac{1}{k}, 0\right)=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \frac{0}{1 / k^{4}}=0 \neq 1 . \)
Die Funktion \( f \) ist im Nullpunkt daher nicht stetig.
Frage:
Wie würde man nochmal Stetigkeit von dieser Funktion in einem anderem Punkt außer Null zeigen?
