Stetigkeit in der Null zeigen

Question

ich komme gerade an dieser Aufgabe nicht weiter.

Aufgabe:
Sei \(f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\) definiert durch
\[f ( x , y ) : = \left\{ \begin{array} { c c } { \frac { \cos (x) \sin (y) } { x ^ { 2 } + y ^ { 4 } } , } & { \text { falls } ( x , y ) \neq ( 0,0 ) } \\ { 0 , } & { \text { falls } ( x , y ) = ( 0,0 ) } \end{array} \right.\]

Untersuchen Sie, ob die Funktion f im Punkt \((0,0)\) stetig ist (mit Begründung).

Problem/Ansatz:

Ich habe jetzt vermutet, dass die Funktion stetig ist und hab versucht die Funktion abzuschätzen. Also sei \((x,y)\neq(0,0)\)
\[0\leq\left|\frac { \cos (x) \sin (y) } { x ^ { 2 } + y ^ { 4 } }\right|=\left|\frac { \cos (x) \sin (y) y} { (x ^ { 2 } + y ^ { 4 })y }\right|=\left|\frac { \cos (x) y} { x ^ { 2 } + y ^ { 4 } }\cdot\frac { \sin (y) } { y }\right|\xrightarrow{(x,y)\rightarrow(0,0)}\cdots\]

ab da komme nicht weiter. Ist der Ansatz richtig oder ist die Funktion gar nicht stetig ? Danke für eure Hilfe :)

Comments

Vielleicht geht's auch so: Für betragsmäßig hinreichend kleine y ∈ ℝ gilt$$\left\vert f(0,y)\right\vert=\left\vert\frac{\sin y}{y^4}\right\vert=\left\vert\frac{\sin y}y\right\vert\cdot\left\vert\frac1{y^3}\right\vert>\frac12\cdot\left\vert\frac1{y^3}\right\vert\longrightarrow\infty\text{ für }y\to 0.$$

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Stimmt, eine Kleinigkeit woher kommt die Abschätzung ?

$$\left|\frac{\sin(y)}{y}\right|>\frac{1}{2}$$

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Ich habs so gemacht.
Sei also (0,y) eine Nullfolge
$$f(0,y)=\frac{\cos(0)\sin(y)}{0^2+y^4}=\underbrace{\frac{\sin(y)}{y}}_{\xrightarrow{(0,y)\rightarrow(0,0)}1}\frac{1}{y^3}=\left\{ \begin{array} { c c } { +\infty , } & { \text { falls } ( 0,y ) \rightarrow ( 0,0^+ ) } \\ { -\infty , } & { \text { falls } ( 0 , y ) \rightarrow ( 0,0^- ) } \end{array} \right.$$

Somit ist f in (0,0) nicht stetig.
Vielen Dank für die Hilfe

Answer 1

Versuche mal die Annäherung an (0,0) entlang der Geraden y=x.

Comments

Also sei (x,x) eine Nullfolge

$$\left|f(x,x)\right|=\left|\frac { \cos (x) \sin (x) } { x ^ { 2 } + x ^ { 4 } }\right|=\left|\frac { \cos (x) \sin (x)} { x ^ { 2 }(1+x^2) }\right|=\xrightarrow{(x,x)\rightarrow(0,0)}\cdots$$

Damit komme ich auch nicht weiter...