Aufgabe:
Untersuchen Sie, an welchen Stellen die durch
\( u(x, y)=x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \)
für \( (x, y) \neq(0,0) \) und \( u(0,0)=v(0,0)=w(0,0)=0 \) definierten Funktionen \( u, v, w: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar sind, und bestimmen Sie die Ableitungen, wo möglich.
Problem/Ansatz:
Wenn man die partiellen Ableitungen bestimmt hat bekommt man sowas wie
$$y* ln( x^2 + y^2) + x*y* (2*x)/ (x^2 + y^2)$$ (analog für y)
Für die Differenzierbarkeit an der Stelle (0,0) reichen die partielle Ableitungen noch nicht. Dafür kann man zeigen, dass die partiellen Ableitungen auf einer Umgebung von (0,0) existieren wie hier und in (0,0) stetig sind. Dazu kann man die Limiten gegen (0,0) laufen lassen. Aber wir wissen nicht wie man das abschätzen kann oder ob man Polarkoordinaten verwenden sollte. Wie man das zeigt.
