Folgende Aufgabe. Bei (c) habe ich die meisten Probleme bei dem Lösungsansatz über den Gradienten kommen nicht weiter. Weil der Vektor normiert ist mit dem Betrag = 1 vermute ich das die Aufgabe noch weiter geht da es sich damit ja leicht rechnen lässt. Dann hatte ich noch eine andere Idee die kann man aber vernachlässigen.
Und bei b weiß ich nicht ob das ausreichend ist. d ist vielleicht etwas falsch in der Differnzierbarkeit. Danke für Hilfe.
$$ f\quad :\quad R²\quad \rightarrow \quad R\quad \\ f(x,y):= \sqrt [ 3 ]{ xy } $$
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$$ Untersuchen\quad Sie\quad in\quad welchen\quad \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \quad \in \quad R²\quad \setminus \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad die\quad Funktion\\ f\quad nach\quad der\quad ersten\quad Koordinate\quad und\quad nach\quad der\quad zweiten\quad Koordinate\\ partiell\quad differenzierbar\quad ist,\quad und\quad berechnen\quad Sie\quad ggf.\quad die\quad \\ partiellen\quad Ableitungen\quad { D }_{ 1 }\quad f(a,b)\quad und\quad { D }_{ 2 }\quad f(a,b). $$
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$$ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \quad \in \quad R²\quad \setminus \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad ,\quad a,b\quad \neq \quad 0\quad :\\ \\ f\quad o\quad { \varphi }_{ 1 }\quad :\quad R\quad \rightarrow \quad R\quad :\quad x\quad \mapsto \quad f(x,b)\quad =\quad \sqrt [ 3 ]{ xb } \quad und\quad f\quad o\quad { \varphi }_{ 1 }\quad ist\quad differenzierbar:\\ \\ (f\quad o\quad { \varphi }_{ 1 })'\quad (x)\quad =\quad \sqrt [ 3 ]{ b } \quad *\quad \frac { 1 }{ 3\sqrt [ 3 ]{ x² } } \\ \\ { D }_{ 1 }\quad f(a,b)\quad =\quad (f\quad o\quad { \varphi }_{ 1 })'\quad (a)\quad =\quad \frac { \sqrt [ 3 ]{ b } }{ 3\sqrt [ 3 ]{ a² } } \quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \sqrt [ 3 ]{ \frac { b }{ a² } } \\ \\ \\ \begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix} \quad \in \quad R²\quad \setminus \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \\ \\ f\quad o\quad { \varphi }_{ 1 }\quad :\quad R\quad \rightarrow \quad R\quad :\quad x\quad \mapsto \quad f(x,0)\quad =\quad \sqrt [ 3 ]{ x*0 } \\ \\ (f\quad o\quad { \varphi }_{ 1 })'\quad (x)\quad =\quad \sqrt [ 3 ]{ 0 } \quad *\quad \frac { 1 }{ 3\sqrt [ 3 ]{ x² } } \quad =\quad 0\\ \\ { D }_{ 1 }\quad f(a,b)\quad =\quad (f\quad o\quad { \varphi }_{ 1 })'\quad (a)\quad =\quad 0\\ So\quad dass:\quad { D }_{ 1 }\quad f(a,b)\quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \sqrt [ 3 ]{ \frac { b }{ a² } } $$
$$ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \quad \in \quad R²\quad \setminus \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad ,\quad a,b\quad \neq \quad 0\quad :\\ \\ f\quad o\quad { \varphi }_{ 2 }\quad :\quad R\quad \rightarrow \quad R\quad :\quad y\quad \mapsto \quad f(a,y)\quad =\quad \sqrt [ 3 ]{ ay } \quad und\quad f\quad o\quad { \varphi }_{ 1 }\quad ist\quad differenzierbar:\\ \\ (f\quad o\quad { \varphi }_{ 2 })'\quad (y)\quad =\quad \sqrt [ 3 ]{ a } \quad *\quad \frac { 1 }{ 3\sqrt [ 3 ]{ y² } } \\ \\ { D }_{ 2 }\quad f(a,b)\quad =\quad (f\quad o\quad { \varphi }_{ 2 })'\quad (b)\quad =\quad \frac { \sqrt [ 3 ]{ a } }{ 3\sqrt [ 3 ]{ b² } } \quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \sqrt [ 3 ]{ \frac { a }{ b² } } \\ \\ \\ \begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} \quad \in \quad R²\quad \setminus \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad :\quad \\ \\ f\quad o\quad { \varphi }_{ 2 }\quad :\quad R\quad \rightarrow \quad R\quad :\quad x\quad \mapsto \quad f(0,y)\quad =\quad \sqrt [ 3 ]{ 0*y } \\ \\ (f\quad o\quad { \varphi }_{ 2 })'\quad (y)\quad =\quad \sqrt [ 3 ]{ 0 } \quad *\quad \frac { 1 }{ 3\sqrt [ 3 ]{ y² } } \quad =\quad 0\\ \\ { D }_{ 2 }\quad f(a,b)\quad =\quad (f\quad o\quad { \varphi }_{ 1 })'\quad (b)\quad =\quad 0\\ \\So\quad dass:\quad { D }_{ 2 }\quad f(a,b)\quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \sqrt [ 3 ]{ \frac { a }{ b² } }$$.........................................$$ (b)\\ \\ Untersuchen\quad sie\quad in\quad welchen\quad \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \quad \in \quad R²\quad \setminus \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad die\quad Funktion\quad f\quad (total)\\ diffenenzierbar\quad ist\quad und\quad berechnen\quad Sie\quad ggf.\quad die\quad Ableitung\quad f'(a,b). $$......$$ Da\quad alle\quad partiellen\quad Ableitungen:\\ \\ { D }_{ 1 }\quad f(a,b)\quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \sqrt [ 3 ]{ \frac { b }{ a² } } \quad ,\quad a\quad \neq \quad 0\quad und\quad { D }_{ 2 }\quad f(a,b)\quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \sqrt [ 3 ]{ \frac { a }{ b² } } \quad ,\quad b\quad \neq \quad 0\\ \\ als\quad Verkettung\quad stetiger\quad Funktionen\quad unter\quad Beachtung\quad des\quad Definitionsbereiches\quad stetig\quad sind\\ ist\quad f\quad total\quad differenzierbar.\\ \\ \\ f'(a,b)\quad =\quad { D }_{ 1 }{ D }_{ 2 }\quad =\quad \frac { 1 }{ 3 } \sqrt [ 3 ]{ \frac { b }{ a² } } \quad *\quad \frac { 1 }{ 3 } \sqrt [ 3 ]{ \frac { a }{ b² } } \quad =\quad \frac { 1 }{ 9 } \sqrt [ 3 ]{ \frac { ab }{ a²b² } } =\quad \frac { 1 }{ 9 } \sqrt [ 3 ]{ \frac { 1 }{ ab } } $$......$$ (c)\\ Für\quad welche\quad Vektoren\quad v\quad \in \quad R²\quad mit\quad { \left\| v \right\| }_{ 2 }\quad =\quad 1\quad ist\quad f\quad in\quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad in\quad Richtung\quad \\ v\quad differenzierbar?\quad Berechnen\quad Sie\quad ggf.\quad { D }_{ v }\quad f(0,0).\quad $$.....$$ grad(f)\quad =\quad \begin{pmatrix} \frac { 1 }{ 3 } \sqrt [ 3 ]{ \frac { y }{ x² } } \\ \frac { 1 }{ 3 } \sqrt [ 3 ]{ \frac { x }{ y² } } \end{pmatrix} \quad \quad , \\ grad(f)(0,0)\quad =\quad \left( Division\quad durch\quad Null\\ nicht\quad def\quad \right) \quad ??? $$....$$ \underset { h\rightarrow 0\\ h\neq 0 }{ lim } \frac { 1 }{ h } f(h{ v }_{ 1 },0) - f(0,0) = \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { 0 }{ h } = 0\\ \\ \\ \underset { h\rightarrow 0\\ h\neq 0 }{ lim } \frac { 1 }{ h } f(h{ v }_{ 1 },h{ v }_{ 2 }) - f(0,0) =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \sqrt [ 3 ]{ h²{ v }_{ 1 }{ v }_{ 2 } } }{ h } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { \sqrt [ 3 ]{ { v }_{ 1 }{ v }_{ 2 } } }{ \sqrt [ 3 ]{ h } } \overset { { \left\| v \right\| }_{ 2 } = 1\\ \longrightarrow }{ = } \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { 0 }{ \sqrt [ 3 ]{ h } } = 0\\ \underset { h\rightarrow 0\\ h\neq 0 }{ lim } \frac { 1 }{ h } f(0,h{ v }_{ 2 }) - f(0,0) = \underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { 0 }{ h } = 0\\ Und\quad der\quad Grenzwert\quad existiert\quad so\quad dass\quad f\quad in\quad (0,0)\quad in\quad Richtung\quad { \left\| v \right\| }_{ 2 }\quad differenzierbar\quad ist.\quad (???) $$.....$$ (d) \quad \\ \\.................$$ Stetig\quad in\quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad :\\ \\ \left( \frac { 1 }{ k } ,\quad 0 \right) \overset { k\rightarrow \infty }{ \longrightarrow } (0,0) : \sqrt [ 3 ]{ \frac { 1 }{ k } * 0 } = 0\\ \\ \left( 0 , \frac { 1 }{ k } \right) \overset { k \rightarrow \infty }{ \longrightarrow } (0,0) : \sqrt [ 3 ]{ 0 * \frac { 1 }{ k } } = 0\\ \\ \left( \frac { 1 }{ k } , \frac { 1 }{ k } \right) \overset { k \rightarrow \infty }{ \longrightarrow } (0,0) : \sqrt [ 3 ]{ \frac { 1 }{ k² } } \longrightarrow 0\\ \\ \\ f \quad ist\quad stetig\quad in\quad \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
