Aufgabe:
A1. Wir betrachten die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R} \), definiert durch
\(f(x, y):=|x y|\)
a) Bestimmen Sie jeweils alle Punkte \( u=\left(u_{1}, u_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \), in denen die Funktion \( f \) die partiellen Ableitungen \( \frac{\partial f}{\partial x}(u) \) bzw. \( \frac{\partial f}{\partial y}(u) \) besitzt.
b) Bestimmen Sie alle Punkte \( u=\left(u_{1}, u_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \), in denen die Funktion \( f \) differenzierbar ist.
Ansatz zu a):
Um die Existenz von \( \frac{\partial f}{\partial x}(u), \frac{\partial t}{\partial y}(u) \) zu zeigen, müssen wir zeigen das \(f\) in \( u \in U \) differenzierbar ist.
Mit \( |x|=\sqrt{x^{2}},|y|=\sqrt{y^{2}} \) und der Produktregel erhalten wir
\( \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=f_{x}(x, y)=|y| \frac{x}{|x|} \) für \( x=u_{1} \neq 0 \)
\( \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=f_{y}(x, y)=|x| \frac{y}{|y|} \) für \( y=u_{2} \neq 0 \)
Differenzierbarkeil von \( f \) in \( (0, y) \) mit \( y \neq 0 \)
\(\lim \limits_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(0+h, y)-f(0,0)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{|h||y|}{h}=|y|\)
aber
\(\lim \limits_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(0+h, y)-f(0,0)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{|h||y|}{h}=-|y|\)
\( \Rightarrow \) \(f\) nicht differenzierbar in \( (0, y) \) für \( y \neq 0 \)
\( \Rightarrow \) Keine partiellen Ableitungen von \( f \) in \( (0, y) \quad y \neq 0 \)
Difterenzierbarkeit von \( f \) in \( (x, 0) \) mit \( x \neq 0 \)
\(\lim \limits_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x, h)-f(0,0)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{|h||x|}{h}=|x|\)
aber
\(\lim \limits_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x, h)-f(0,0)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{|h||x|}{h}=-|x|\)
\( \Rightarrow \) \(f\) nicht differenzierbar in \( (x, 0) \) für \( x \neq 0 \)
\( \Rightarrow \) Keine partiellen Ableitungen von \( f \) in \( (x, 0), x \neq 0 \)
Sei \((x,y) = (0,0)\), dann ist
\(\begin{array}{l}\\\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} |0|\frac{h}{|h|}=0 \\\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim \limits_{h \rightarrow 0}|0| \frac{h}{|h|}=0\end{array}\)
Also existieren \( \frac{\partial f}{\partial y}(u), \frac{\partial f}{\partial x}(u) \) für \( u=(0,0) \)
Hier fehlt wahrscheinlich noch zu zu zeigen das in allen anderen Punkten, die nicht auf den Achsen liegen \(f\) partielle Ableitungen besitzt.
Idee:
Kann ich einfach argumentieren dass die restlichen Punkte keine "kritischen" Punkte sind weil z.B. die Betragsfunktion \(f(x) = |x|\) für \(x ≠ 0\) differenzierbar ist? In diesem Fall wäre ja \(f\) nicht differenzierbar, wenn \(x = 0\) oder \(y = 0\) gilt. Da ich diese Fälle aber schon gezeigt habe, ist \(f\) \( \forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 : (0,y), (x,0)\) mit \( x,y ≠ 0\) differenzierbar und somit existieren dort auch die partiellen Ableitungen.
Ansatz zu b)
Differenzierbarkeilt von \( f \) in \( (0,0) \)
\(\begin{array}{l}\lim \limits_{\left(h_{1} ,h_{2}) \rightarrow(0,0)\right.} \frac{f\left(h_{1} h_{2}\right)-f(0,0)}{\|h\|} \\=\lim \limits_{\left(h_{1},h_{2})\rightarrow(0,0\right)} \frac{\left|h_{1}\right|\left|h_{2}\right|}{\|h\|} \\\leq \lim \limits_{\left(h_{1},h_{2}\right) \rightarrow(0,0)}\left|h_{1} h_{2} \right| =0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) \(f\) in \(0,0\) differenzierbar
\(f\) kann nicht in \( (0,y), (x,0)\) mit \( x,y ≠ 0\) differenzierbar sein, da dort keine partiellen Ableitungen existieren.
Also ist \(f\) auch in den Punkten aus a) differenzierbar, in denen es auch partielle Ableitungen besitzt.
Problem:
Mir gehen hier viel zu viele Gedanken durch den Kopf, dafür das ich sie alle aufs Papier bringen kann. Ich weiss das die Stetigkeit und Existenz der Partiellen Ableitung in \(u\) impliziert das \(f\) in u differenzierbar ist. Aber die Stetigkeit ist ja nur ein Hinreichendes Kriterium. Vielleicht brauche ich das doch für b)
Ich bin dankbar für jede Hilfe!
