Differenzierbarkeit im Mehrdimensionalen. Wie zeigt man, dass f(x,y) differenzierbar ist.?

Question

Wie genau zeigt man, dass eine Funktion f(x,y) differenzierbar ist?

Und wie bestimmt man dann das Differential?

Comments

Muss ich zeigen, dass die partiellen Ableitungen stetig sind und kann daraus folgern, dass die  Funktion differenzierbar ist?

Falls ja, wie bestimmt man die partielle Ableitung? Ein einfaches Beispiel wäre super!

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Die partiellen Ableitungen bestimmst du, indem du jeweils eine Variable als Konstante annimmst, und dann wie gehabt nach der anderen ableitest.

Mit Berechnen der Ableitungen ist dir aber nicht geholfen, du musst auch zeigen, dass die Funktion partiell differenzierbar ist - das geht so ähnlich wie im Eindimensionalen (Google!).
Wenn du die partielle Diff'barkeit gezeigt hast, die part. Ableitungen berechnet hast, und jene stetig sind, dann ist die Funktion auch (total) differenzierbar.


Wenn die part. Ableitungen nicht existieren, dann ist die Funktion auch nicht (total) differenzierbar.


Problematisch wirds erst, wenn die Funktion partiell differenzierbar ist, die part. Ableitungen aber nicht stetig sind.

Dann musst du manuell zeigen, dass die Funktion (total) differenzierbar ist und das ist nicht mehr so trivial.

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<<  Wenn die part. Ableitungen nicht existieren, dann ist die Funktion auch nicht (total) differenzierbar

Falsch. Siehe das Gegenbeispiel f6 in Wiki.

Answer 1

<<  Muss ich zeigen, dass die partiellen Ableitungen stetig sind und kann daraus folgern, dass die  Funktion differenzierbar ist?

siehe den Artikel " Differenzierbarkeit " in Wiki; du MUSST  nicht. Deine Bedingung ist lediglich hinreichend; nicht aber notwendig.