Aufgabe:
Zeigen Sie, dass
\( \Phi: C^{0}([0,1]) \rightarrow C^{0}([0,1]), \quad u \mapsto([0,1] \rightarrow \mathbb{R}, t \mapsto \sin (u(t))) \)
differenzierbar ist, und bestimmen Sie \( D \Phi \). Hinweis: Hier können Sie nicht darauf verzichten, Stetigkeit von \( D \Phi(u) \) nachzuweisen (weil?).
Problem/Ansatz:
Ich verstehe nicht ganz richtig wie ich hier die folgende Definition oder das Lemma verwenden soll.
55.1 Definition. Es seien \( X \) und \( Y \) normierte Räume, \( D \subseteq X \) und \( f: D \rightarrow Y \). Dann heißt \( f \) differenzierbar („diff'bar") an der Stelle \( x_{0} \in D \), wenn es eine stetige lineare Abbildung \( A: X \rightarrow Y \) und eine in 0 stetige Funktion \( r:-x_{0}+D \rightarrow Y \) mit \( r(0)=0 \) gibt, sodass
\( f\left(x_{0}+h\right)=f\left(x_{0}\right)+A h+\|h\| r(h) \quad \forall h \in-x_{0}+D \)
Statt \( A \) schreiben wir dann auch \( D f\left(x_{0}\right) \) oder \( f^{\prime}\left(x_{0}\right) \) und sprechen von der Ableitung von \( f \) an der Stelle \( x_{0} \). Die Funktion \( f \) heißt differenzierbar, wenn \( f \) an allen Stellen \( x_{0} \in D \) differenzierbar ist.
55.2 Lemma. \( f: D \subseteq X \rightarrow Y \) ist differenzierbar in einem Häufungspunkt \( x_{0} \in D \) von \( D \), falls es eine stetige lineare Abbildung \( f^{\prime}\left(x_{0}\right): X \rightarrow Y \) und eine Funktion \( R:-x_{0}+D \rightarrow \) \( Y \) gibt mit
\( f\left(x_{0}+h\right)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right) h+R(h) \quad \forall h \in-x_{0}+D \quad \text { und } \quad \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{R(h)}{\|h\|}=0 . \)
Falls \( X=\mathbb{R} \), ist \( f \) differenzierbar genau dann, wenn
\( f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} \)
existiert.
