Summen, Betrags- und Bruchungleichungen, komplexe Zahlen

Question

Aufgabe:

Ist das richtig gelöst?

1. Aufgabe: Berechnen Sie die folgenden Summen in Abhängigkeit von n, sowie für n=5 bzw. für n=6 .

a)  \( \sum \limits_{n=0}^n2^k{}=2^{n+1}-1 \)

b) \( \sum\limits_{n=0}^n2^k{}\) = 63

c) \( \sum\limits_{n=0}^{n}{\frac{1}{2^n}} \) =1+\( \frac{2^n-1}{2^n} \)

d) \( \sum\limits_{n=0}^{6}{\frac{1}{2^n}} \) = \( \frac{127}{64} \)

2. Aufgabe:Bestimmen Sie den Wert des folgenden Ausdrucks.
a)

\( \sum\limits_{n=0}^{108}{(-1)^n} \)

3. Aufgabe:

Bestimmen Sie die Menge aller x∈R, welche die Ungleichung

∣∣x3−36⋅x∣∣>0

erfüllen.

Lösung: R∖{-6,0,6}

4. Aufgabe:

Gegeben sind die komplexen Zahlen

z1= 4−4i ,   z2= 3+5i,     z3= −2−4i .

Berechnen Sie und stellen Sie das Ergebnis in der Form x+ iy dar (mit x,y∈R ).

z3+z2 = 1+1i

z1*z2 :

= (4-4i)*(3+5i)

= 4*3+4*5i+(-4i)*3*(-4i)*5i

= 12+20i-12i-20i^2

= 12+8i+20

=32+8i

Ιz1Ι= 4+4i

\( \frac{z2}{z1} \) = \( \frac{3+5i}{4-4i} \) * \( \frac{4-4i}{4-4i} \)

= \( \frac{(3+4i)*(4-4i)}{(4-4i)*(4-4i)} \)

= \( \frac{12+12i+20i+20^2}{16+16i-16i-16i^2} \)

= \( \frac{12+32i-20}{16+16} \)

= \( \frac{-8+32i}{32} \)

= -8+i

5. Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen (mit reellem x) und skizzieren Sie die Lösungsmengen auf der Zahlengeraden:

a) 2x/x−4 < 1,       x≠4.

b) x^2-1/13x−43 ≥ 1 ,       x≠ 43/13.

c) |11x+4| ≤ 13x−4

Hier weiß ich leider nicht, wie ich vorgehen soll.

Danke schon mal im Voraus.

Answer 1

1. Unter dem Summenzeichen muss es immer mit k=0 beginnen

und bei 1.b) muss es heißen  \( \sum\limits_{k=0}^62^k{}\)

c) \( \sum\limits_{k=0}^{n}{\frac{1}{2^n}} \) =1+\( \frac{2^n-1}{2^n} \)=2-\( \frac{1}{2^n} \)

2. \( \sum\limits_{n=0}^{108}{(-1)^n} \)=1+(-1)+1+(-1)+.....+1 = 1

3. ✓

4 erst richtig aber dann

|z1|=√(16+16)=4√2  und \( \frac{z2}{z1} = \dots = \frac{-8+32i}{32} \)  ✓

                                  = \(  \frac{-1}{4}+i \)

5. Fallunterscheidungen machen, bei a und b

nach VZ des Nenners bei c VZ von 11x+4. Also etwa a)

Ist wohl so:                 \(     \frac{2x}{x-4} < 1 \)

1. Fall x>4 Dann mal Nenner gibt 2x < x-4
                                            <=>  x < -4 
Da es bei x>4 keine Zahlen mit x<-4 gibt, im ersten Fall keine Lösungen.

2. Fall x<4    Dann mal Nenner gibt 2x < x-4
                                            <=>  x > -4

                     also Lösungen ]-4 ; 4 [ .

Das ist dann auch die Lösungsmenge der gesamten Ungl.

Comments

Vielen Dank!

Also ist

Iz1I= 4√2

x2/x1 = -\( \frac{1}{4} \) + i

und z1 * z2 und z3 + z2 ist richtig?

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Genau so ist es !

Answer 2

Das ist eine bunte Aufgabensammlung, zu der du nur Teilantworten erhältst.

Zu 5a) sollte es heißen \( \frac{2x}{x-4} \)<1 mit x≠4.

Betrachte zuerst den Fall x<4. Dann ist x-4<0 und es geht weiter nach Multiplikation mit x-4;

2x>x-4  | - x

x> - 4

Also -4<x<4

Zweiter Fall x>4. Dann ist x-4<0 und es geht weiter nach Multiplikation mit x-4:

2x<x-4    | - x

x< - 4

Gesamtlösungsmenge ist {x|x< - 4 ∨  -4<x<4}.

Comments

Zweiter Fall x>4.

steht im Widerspruch zu

x< - 4

Answer 3

\(z_1= 4−4i\)    \(z_2= 3+5i\)

\( \frac{z_2}{z_1}=\frac{3+5i}{4−4i}=\frac{(3+5i)\cdot(4\red{+}4i)}{(4−4i)\cdot(4\red{+}4i)}=\frac{12+12i+20i+20i^2}{16-16i^2}=\frac{12+22i-20}{16+16}=\frac{-8+22i}{32}=\frac{-4+11i}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{11}{16}i \)