Ich frage mal direkt: Existiert vielleicht allgemein folgende Ungleichung (?):
$${ \left| \sum _{ i=1 }^{ n }{ { c }_{ i } } \right| }^{ 2 }\le \quad n\cdot \sum _{ i=1 }^{ n }{ { \left| { c }_{ i } \right| }^{ 2 } } $$
(wobei die c_i hier als Konstanten zu verstehen sind, aber man kann auch genauso gut Funktionen f_i darunter verstehen)
Ich habe neulich hier gefragt, ob
$${ \left| \sum _{ i=1 }^{ 3 }{ { c }_{ i } } \right| }^{ 2 }\le \quad \sum _{ i=1 }^{ n }{ { \left| { c }_{ i } \right| }^{ 2 } } $$
im Allgemein gelten würde und darauf hin wurden viele Gegenbeispiele genannt.
Ohne groß auf die Hintergründe oder Quelle eingehen zu wollen, habe ich in der Zwischenzeit eine berichtigte, allgemein gültige Version bekommen:
$${ \left| \sum _{ i=1 }^{ 3 }{ { c }_{ i } } \right| }^{ 2 }\le \quad 3\cdot \sum _{ i=1 }^{ 3 }{ { \left| { c }_{ i } \right| }^{ 2 } } $$
Ich suchte lange nach einem formalen Beweis dafür, und alles was ich als Erklärung fand war, dass ja für alle konvexen Funktionen (und die Betrags-hoch-irgendwas-Funktion ist ja eine konvexe Funktion) gilt:
$$ |f+g|^p = 2^p \left| \frac{1}{2} f + \frac{1}{2}g \right|^p \leq 2^{p-1} (|f|^p + |g|^p) $$
d.h. in unserem Fall konkret:
$$ \left| a+b \right|^2 \leq 2 \cdot |a|^2 + 2 \cdot |b|^2 $$
Damit konnte ich mir nur etwas ähnliches herleiten:
$$ |a+(b+c)|^2 \leq 2 \cdot |a|^2 + 2 \cdot |b+c|^2 \leq 2 \cdot |a|^2 + 4\cdot |b|^2 + 4 \dot |c|^2$$
Das sieht schon recht ähnlich aus, wie die gewünschte Aussage, aber eben noch nicht ganz. Und ich wünschte mir eigentlich gerade die Formel für n=5...
Darum frage ich mich, ob erstere Formel allgemein gilt und wenn ja, warum ?
Ist es vielleicht eine gängige namenhafte Formel, die mir einfach nur nicht geläufig ist?
