(Un)gleichungen mit Summenzeichen. Summen von Quadraten

Question

ich habe bei dieser Aufgabe Schwierigkeiten. Vorallem die Potenz ist mir nicht klar.

Answer 1

$$\text{(a) }\frac1m+\sum_{i=1}^m\left(p_i-\frac1m\right)^{\!2}\\=\frac1m+\sum_{i=1}^m\left(p_i^2-2\frac{p_i}m+\frac1{m^2}\right)\\=\frac1m+\sum_{i=1}^mp_i^2-\sum_{i=1}^m\frac2mp_i+\sum_{i=1}^m\frac1{m^2}\\=\frac1m+\sum_{i=1}^mp_i^2-\frac2m\sum_{i=1}^mp_i+\frac1{m^2}\sum_{i=1}^m1\\=\frac1m+\sum_{i=1}^mp_i^2-\frac2m+\frac1m=\sum_{i=1}^mp_i^2.$$MfG

Comments

Der Schritt von der vorletzten in die letzte Zeile ist mir aber nicht ganz klar. In der vorletzten Zeile steht 1:m². In der letzen Zeile ist dann das Quadrat weg. Wieso? Einen schönen Abend noch.

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$$ \sum_{i=1}^{m}{1} =\underbrace{1+1 + \ ... \ + 1}_{m \ mal} = m\cdot 1 = m\\\frac{1}{m^2}\sum_{i=1}^{m}{1} = \frac{1}{m^2} m = \frac{1}{m}  $$