Wahrscheinlichkeitsfunktionen und Bonferroni-Ungleichung

Question

Aufgabe:

a)

Sei 0 < p < 1. Auf der Menge Ω₂ = {0, ..., n} sei die Funktion m₂: Ω₂ → ℝ_≥0 mit j ↦ \( \begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} \) \( p^{j} \) \( (1-p)^{n-j} \) gegeben. Zeigen Sie, dass m₂ eine Wahrscheinlichkeitsfunktion auf Ω₂ ist.

Hinweis: Dazu müsste gegebenenfalls der Satz \( (p+q)^{n} \) = \( \sum\limits_{k=0}^{n}{\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^{k} q^{n-k}} \)  ∀ p, q ∈ ℝ per Induktion gezeigt werden.

b)

Sei Ω eine endliche Menge und m: Ω → ℝ_≥0 eine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Zeigen Sie, dass für M₁, ..., M_n ⊂ Ω die Bonferroni-Ungleichung gilt. Das heißt, zeigen Sie, dass P(M₁ ∪ ... ∪ M_n) ≤ \( \sum\limits_{k=1}^{n}{P(M_{k})} \)

Problem/Ansatz:

Bei der a) ist eigentlich nur die Induktion das Problem. Den Induktionsanfang und die Induktionsvoraussetzung habe ich, beim Induktionsschritt hakt es allerdings.

Bei der b) bin ich leider total ideenlos

Answer 1

a)

Es gilt per binomischen Lehrsatz  $$1^n = (p + (1-p))^n = \sum_{k=0}^n\binom nkp^k(1-p)^{n-k}$$Einen Beweis des binomischen Lehrsatzes per Induktion findest du zum Beispiel hier.

b)

Das geht per Induktion.

Dabei nutzt du im Induktionsschritt

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \leq P(A) + P(B)\).

Hier der Induktionsschritt \(n\rightarrow n+1\):

Setze dazu \(A = \bigcup_{k=1}^nM_k,\: B= M_{n+1} \).

\(P(\bigcup_{k=1}^{n+1}M_k) \leq P(A) + P(M_{n+1}) \stackrel{\text{Induktionsvoraussetzung}}{\leq}\sum_{k=1}^n P(M_k) + P(M_{n+1})\)

Comments

Hey, danke für deine Antwort, die b) verstehe ich allerdings noch nicht so ganz

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Probier doch mal, einen kompletten Induktionsbeweis aufzuschreiben.
Den wichtigsten Teil hab ich hingeschrieben.

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Was ist denn hier der Induktionsanfang? 2 Mengen? Wenn ja dann würde ich sagen so in etwa?

Induktionsanfang:

P(M1 ∪ M2) = P(M1) + P(M2) - P(M1 ∩ M2) ≤ P(M1) + P(M2) = \( \sum\limits_{k=1}^{2}{P(M_{k})} \)

Induktionsvoraussetzung:

Gelte der Satz für ein beliebiges aber festes n.

Induktionsschritt:

Setze \(A = \bigcup_{k=1}^nM_k,\: B= M_{n+1} \)

P(M1 ∪ ... ∪ Mn ∪ Mn+1) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

≤ P(A) + P(B) \(\stackrel{\text{Induktionsvoraussetzung}}{\leq}\) \( \sum\limits_{k=1}^{n}{P(M_{k})} \) + P(B)

= \( \sum\limits_{k=1}^{n}{P(M_{k})} \) + P(Mn+1) =\( \sum\limits_{k=1}^{n+1}{P(M_{k})} \)

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Sieht gut aus.