Ungleichung zeigen Aufgabe

Question

Wie kann ich hier zeigen, dass diese Ungleichung gilt?

(Bitte keine Lösung sondern ein Tipp)

Aufgabe 4

Beweisen Sie für \( x \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \) die Ungleichung:

$$\frac{1}{2} x^{2}+3 \geqslant 2\left(x+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{2 x^{2}}$$

Comments

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Answer 1

Ich würde zunächst beide Seiten mit 2x^2 multiplizieren.

Du erhältst eine Ungleichung 4 Grades. Bringe dabei das Polynom auf die linke Seite. Jetzt kannst du sehr leicht faktorisieren

1/2·x^2 + 3 ≥ 2·(x + 1/x) - 1/(2·x^2)

forme also um zu

(x - 1)^4 ≥ 0

Jetzt ist der Rest nur Formsache oder?

Answer 2

Für negative x ist die Ungleichung kein Problem, denn dann ist die linke Seite positiv und damit garantiert größer als die rechte Seite, die negativ ist.

Betrachte also den Fall x>0.

Ich würde beide Seiten mit x² multiplizieren und alles auf die linke Seite bringen. Die Ungleichung hat dann die zu beweisende Form "Polynom 4. Grades ist größer als 0".

Das ist dann nachgewiesen, wenn auch der kleinste Wert dieses Polynoms größer oder gleich 0 ist.

Answer 3

Da du nur einen Tipp möchtest:

Bringe \(\frac 1{x^2}\) auf die linke Seite.

Setze \(u=x + \frac 1x \) und beachte, dass \(u^2 = x^2+\frac 1{x^2}+2\).

Jetzt bekommst du eine sehr simple Ungleichung in \(u\).

Falls du stecken bleibst, frag einfach nochmal nach.