Aufgabe: Bei Aufgabe 4.1.) soll der Winkel zwischen den Vektoren b1-b2 und b2-b3 bestimmt werden.
…
Problem/Ansatz:Mir ist nicht klar ,wie man in den Lösungen auf die Normen \( \sqrt{2} \) kommt.
Text erkannt:
Aufgabe 4 (6 Punkte) (Begründungen erforderlich!)
Es sei \( B=\left\{\vec{b}_{1}, \vec{b}_{2}, \vec{b}_{3}, \vec{b}_{4}\right\} \) eine Orthonormalbasis des \( \mathbb{R} \)-Vektorraumes \( V=\mathbb{R}^{4} \), versehen mit dem Standardskalarprodukt. Weiter sei vorgegeben der Untervektorraum
\( U:=\operatorname{span}\left(\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2}, \vec{b}_{2}-\vec{b}_{3}, \vec{b}_{3}-\vec{b}_{4}, \vec{b}_{4}-\vec{b}_{1}\right) \)
1. Man bestimme den Winkel \( \varphi \), welcher von den beiden Vektoren
\( \vec{b}_{1}-\vec{b}_{2} \text { und } \vec{b}_{2}-\vec{b}_{3} \)
eingeschlossen wird. \( \cos (\varphi)=-\frac{1}{2} \quad \varphi=120^{\circ}=\frac{2 \cdot \pi}{3} \)
Text erkannt:
1. Es gilt
\( \cos (\varphi)=\frac{\left\langle\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2}, \vec{b}_{2}-\vec{b}_{3}\right\rangle}{\left\|\vec{b}_{1}-\vec{b}_{2}\right\|_{2} \cdot\left\|\vec{b}_{2}-\vec{b}_{3}\right\|_{2}}=\frac{-\left\langle\vec{b}_{2}, \vec{b}_{2}\right\rangle}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}=-\frac{1}{2}, \)
folglich gilt
\( \varphi=120^{\circ}=\frac{2 \cdot \pi}{3} . \)
