Algenkolonie und logistisches Wachstum

Question

Aufgabe:

Formel des Wachstums $$N(t)=N_0*e^{kt}; N(t)=N_0*e^{-kt}, N(t)= \frac{N_0*G}{N_0+(G-N_0)*e^{-kt}}$$

logistisches Wachstum

Für die Fläche einer Algenkolonie liegt logistisches Wachstum vor. Zu Beginn beträgt die Fläche 2m^2, der Grenzwert beträgt 10m^2. Nach 33 Tagen hat sie 4m^2 erreicht.

a) Berechne den Wachstumsfaktor k

Da habe ich N(33)=4m^2 gemacht

und dann $$N(33)= 2*e^{k*33}$$

b) Berechne die Fläche nach 100 Tagen. Das habe ich da kommt 8.34 m^2 raus

c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt des maximalen Wachstums

Hier ist ja der Wendepunkt gesucht. Aber welche Funktion muss ich zweimal ableiten?

d) Skizziere die Fläche als Funktion der Zeit

e) Erläutere den Unterschied zwischen logistischem und begrenztem Wachstum

das habe ich

Problem/Ansatz:

Comments

Du schreibst am Beginn der Aufgabe drei unterschiedliche Formeln hin. Was möchtest Du damit mitteilen?

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Die waren so bei der Aufgabe angegeben. Ich weiß selber nicht welche ich jetzt nehmen muss

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Wieso fragst Du dann nicht, welche Du nehmen sollst... die dritte ist für logistisches Wachstum. Das steht so im Lehrmaterial über logistisches Wachstum.

Answer 1

a) k = 0.002972209857

b) N(100) = 8.300406656

c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt des maximalen Wachstums

Der Wendepunkt wird erreicht, wenn der Bestand genau die Hälfte des Grenzbestandes ist.

t = 46.64187348

d) Skizziere die Fläche als Funktion der Zeit

~plot~ 10/(1 + 4*e^(-0.02972x));[[0|150|0|10]] ~plot~

Comments

Also muss ich bei c) N(G/2) ausrechnen? Also N(5)?

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t ist die Zeit und N(t) ist der Bestand. Also musst du N(t) = 5 berechnen.

Wichtig. Du darfst nicht die abhängige und unabhängigen Größen einer Funktion verwechseln. Das passsiert Schülern leider immer wieder.

Kontrolliere demnächst deine Ergebnisse auch mithilfe des Graphen. Dort kannst du ja den Wendepunkt näherungsweise ablesen und so entscheiden ob du richtig liegst.

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N(t)= 2*e^0.003*t=5

So?

Mit dem Logarithmus bekomme ich ja die 0.003t aus dem Exponenten aber wie ging das nochmal?

Wie bist du auf k=0.003 gekommen?

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Du hast ein Logistisches Wachsum, also musst du bereits die richtige Formel verwenden. Das ist die dritte bei dir.

Vereinfacht sieht die Funktion wie folgt aus

N(t) = 10/(1 + 4·e^(- 0.02972·t))

Zum Lernen kann ich noch folgende Seite empfehlen

https://studyflix.de/mathematik/logistisches-wachstum-2030

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Danke für die studyfix-Seite.

Kannst du mir viellt kurz erklären wie du das k rausbekommen hast?

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Kannst du mir viellt kurz erklären wie du das k rausbekommen hast?

Versuche mal die Bestimmungsgleichung N(33) = 4 aufzustellen und alles dabei einsetzen was du schon hast. Willst du das mal probieren?

Ich nehme immer die Formel

$$N(t) =\frac{G}{1 + (\frac{G}{N_0} - 1) \cdot e^{-k \cdot G \cdot t}}$$

Die ist mit der auf deiner Seite angegebenen identisch ist nur etwas vereinfacht weil durch N0 gekürzt wurde.

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$$N(33)=\frac{10}{1+(5-1)*e^{-k*10*33}} = \frac{10}{1+4*e^{-330k}}=4$$

$$10=4*(1+4e^{-330k})$$

Dann nach k auflösen und ich habe k rausbekommen :-) Danke !

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Dann nach k auflösen und ich habe k rausbekommen

Prima gemacht!

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Aber wie geht das jetzt nochmal mit den Wendepunkt. Das habe ich immer noch nicht verstanden. Wie lautet da die Gleichung für den Ansatz?

N(t)=5

Und ich nehme jetzt

N(t) = 10/(1 + 4·e^(- 0.02972·t)) = 5 

Oder wie?

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N(t) = 10/(1 + 4·e^(- 0.02972·t)) = 5

Ja. Der Ansatz ist völlig richtig. Muss also nur noch nach t aufgelöst werden.