Anhand der Eigenwerte direkt auf die JNF schließen?

Question

Aufgabe:

\( A=\left(\begin{array}{ll}-2 & 2 \\ -4 & -2\end{array}\right) \) Hier liegt der komplexe Fall vor

\( (-2-\lambda)^{2}+8=0 \Leftrightarrow \lambda=-2 \pm 2 i \sqrt{2} \)

Die Jordanform von A lautet also \( J=\left(\begin{array}{cc}-2 & -2 \sqrt{2} \\ 2 \sqrt{2} & -2\end{array}\right) \)

Problem/Ansatz:

Hey, ich habe eine (wahrscheinlich ziemlich dumme) Frage zur Jordan Normalform. Seht ihr vielleicht, wie man hier nur anhand der Eigenwerte direkt auf die JNF schließen kann? Ich wäre das ganze erstmal langsam über die Berechnung der Eigentum und der Bestimmung der algebraischen und geometrischen Vielfachheiten angegangen, weshalb ich mir nicht erklären kann, wie das hier so schnell einfach "abgelesen" wurde.... Seht ihr vielleicht, warum das geht?

VG

Comments

$$ Ist \quad A \in Mat_{\mathbb{C}}(2,2) \quad dann \quad ist \quad die \quad JNF\quad von \quad A \quad J=\begin{pmatrix} -2i \sqrt{2}-2 & 0 \\0 & 2i \sqrt{2}-2 \end{pmatrix}$$

Das erkennt man direkt, da die Matrix nur 2 Eigenwerte haben kann. Da diese beide verschieden sind ist algebrische Vielfachheit der beiden Eigenwerte jeweils 1 und dass ist gleich der geometrischen Vielfachheit. Also ist A ähnlich zu einer JNF in Diagonalgestalt mit den Eigenwerten von A auf der Hauptdiagonalen.

LG

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Okay, vielen lieben Dank für deine Hilfe:)

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Deine JNF ist komplett falsch.

Nein. Man nennt das oft auch "reelle Jordan-Normalform".

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Ah ok kannte ich gar nicht. Vielen Dank für die Verbesserung :)

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Bei reellen Matrizen hat das char. Polynom reelle Koeffizienten. Insb tauchen komplexe Nullstellen (entspricht Eigenwerten) in komplex konjugierten Paaren auf

Zu einem Eigenwertpaar

z = a + ib, z* = a-ib

finden sich dann nachher Blöcke der Form

$$\begin{pmatrix}a & b\\-b & a\end{pmatrix}$$

Auf der Diagonalen der reellen JNF. Da stehen also nur Real- und Imaginärteil der Eigenwerte drin. Bei 2x2 Matrizen mit komplexen EW ist der Fall sehr einfach, da es dort dann keine weiteren EW oder eine "Nebendiagonale" gibt, über die man sich Gedanken machen müsste. Deshalb ist obiger Block auch schon die komplette JNF.

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Ohh, danke, dass du das noch hinzugefügt hast:)