Jordansche Normalform: anhand von algebraischer und geometrischer Vielfachkeit der Eigenwerte eindeutig bestimmbar?

Question

ich bräuchte Hilfe bei der folgende Aufgabe:

Die Jordansche Normalform lässt sich anhand der algebraischen und geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte eindeutig bestimmen. (wahr/falsch)

Problem/Ansatz: Ich weiß nicht, ob diese Aussage wahr oder falsch ist, bzw. fällt mir kein Beweis oder Gegenbeispiel ein. Zwar weiß ich, dass die Jordansche Normalform eines Endomorphismus eindeutig ist, die Basis aber nicht eindeutig, jedoch weiß ich nicht, wie ich das genau für diese Aufgabe verwenden kann.

Wie muss ich bei dieser Aufgabe vorgehen?

LG, p0nyo

Answer 1

FALSCH

siehe "Kochen mit Jordan" https://www.geogebra.org/m/cbrraju7

anhand der algebraischen und geometrischen Vielfachheiten kannst du die Diagonale besetzten. bezüglich der Nebendiagonalen ist noch nicht alles gesagt.

z.B:

$\small A \, := \, \left(\begin{array}{rrrrr}5&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\-1&0&3&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&4\\\end{array}\right)$

$-\left(\lambda - 1 \right)^{2} \; \left(\lambda - 4 \right)^{3} = 0$

===> diag(1,1,4,4,4)

DimEigenraum:={2, 2}, Rank(A - λ_k E)

dim Kern(A − λ·E) = Anzahl der Kästchen im Block zu λ

$\small D \, := \, \left(\begin{array}{rrrrr}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&4&0&0\\0&0&0&4&1\\0&0&0&0&4\\\end{array}\right)$

Comments

Danke für die tolle Antwort und das Gegenbeispiel!

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Darf ich fragen inwiefern ist das ein Gegenbeispiel ist? Ist es nicht (bis auf Permutationen) eher eine Bestätigung?