Jordansche Normalform. LGS gelöst, aber aus welchem Grund hilft das weiter?

Question

ich versteh nicht so recht, warum man das LGS (A-3E)x=(0 1 -1) löst. Weil der Eigenraum von 3 wurde ja bereits bestimmt...

Comments

Vielleicht kannst du uns die Original Aufgabenstellung mitteilen, meine Kristallkugel wird gerade poliert ;) .

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Es ging darum die Jordansche Normalform zu bestimmen:)

Wie die Matrix zustande kommt, ist mir klar. Nur nicht wozu das LGS also das x gelöst wird, versteh ich nicht

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Und die Fortsetzung der Aufgabe hab ich ja bereits gepostet:)

Answer 1

Hallo Sonnenblume,

[ [x,y,z]^t  ist jeweils der "transponierte" (Spalten-)Vektor ]

Wenn ich dich recht verstehe, liegt dein Problem in der 2. Zeile des 2. Bildes.

Meines leider auch :-)

Für das LGS   (A-3E) * x = [ 0,1,-1 ]^t   (dieses ergibt nicht den Eigenraum von λ=3 !)  erhalte ich die Lösungen  x = [ 0 , r , 1- r ]^t

 z.B.   x =  1/2 · [ 0,1,1 ]^t

(A-3E) * x = [ 0,1,-1 ] ^t   ⇒   x =  1/2 · [ 0,1,1 ] ^t   würde aber bedeuten, dass es nur diese Lösung geben kann, was nicht der Fall ist [ (0,1/3,2/3)^t  tut es z.B. auch ] .

Da H₃(A)  der Hauptraum zum Eigenwert 3 mit der algebraischen Vielfachheit 2 sein soll, ergibt sich aber nach obenstehender Definition ebenfalls:

H₃(A) =  { x ∈ ℝ³ |  (A-3E)² * x  =  0 }  =  { [ 0 , r , s ]^t | r,s ∈ ℝ }

               =  span( [0,1,0]^t , [ 0,0,1]^t }   =  span( [0,1,-1 ]^t , [ 0,1,1]^t }

               (beides stellt die xy-Ebene dar)

Gruß Wolfgang

Answer 2

ich versteh nicht so recht, warum man das LGS (A-3E)x=(0 1 -1) löst. Weil der Eigenraum von 3 wurde ja bereits bestimmt...

Für den  Eigenraum von 3 löst du ja das LGS (A-3E)x=(0 0 0 ) .

Hier geht es wohl um den Hauptraum.

Comments

Also ich nehme, dann praktisch einen Eigenvektor(EV) und mach (A-λE)x=EV

Und wenn ich zwei EV hätte, was wäre dann?