Jordansche Normalform bestimmen

Question

Sei m ein Teiler von n. Bestimmen Sie die Jordansche Normalform von J^m.

Warum muss m ein Teiler von n sein? Wie muss die Jordansche Normalform aussehen?

Answer 1

Die Jordansche Normalform einer Matrix J^m ist abhängig von der Größe der Matrix und dem Wert von m.

Wenn J ist die Jordan-Zellform von nxn Dimension, dann hat J^m die Form:

J^m =
[ J^m 0 0 ... 0 ]
[ 0 J^m 0 ... 0 ]
[ 0 0 J^m ... 0 ]
[ ... ... ... ... ... ]
[ 0 0 0 ... J^m ]

Sofern J^m eine blockdiagonale Matrix mit m mal m Blocks ist, ist jeder Block J.

Muss m ein Teiler von n sein, weil J die Jordan-Zellform einer Matrix ist und diese Form kann nur von einer Matrix erreicht werden, die äquivalent zur Jordan-Normalform ist, und die Jordan-Normalform hat nur eindeutige Blöcke auf der Diagonale, die die Größe des Eigenvektors des entsprechenden Eigenwertes darstellen.

Also, wenn m nicht Teiler von n ist, kann J nicht die Jordan-Zellform von J^m sein.