Aufgabe:
(a) Besitzt die reelle Matrix A= \( \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 & -7 \\ 9 & -3 & -7 & -1\\ 0 & 0 & 4 & -9\\ 0 & 0 & 2 & -4\end{pmatrix} \) eine Jordansche Normalform?
(b) Geben Sie das charakteristische Polynom, die Eigenwerte, die Jordansche Normalform, die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten der Eigenwerte sowie das Minimalpolynom der Matrix A an, wenn A als komplexe Matrix aufgefasst wird.
Problem/Ansatz:
Hallo ich habe mit dieser Aufgabe ein paar Probleme, ich meine die Aufgabe auch schon ziemlich weit gelöst zu haben mir fehlen meiner Meinung nach nur noch dioe Jordansche Normalform und das Minimalpolynom. Aber Schritt für Schritt. Hiermal mein Lösungsansatz.
(a)
A= \( \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 & -7 \\ 9 & -3 & -7 & -1\\ 0 & 0 & 4 & -9\\ 0 & 0 & 2 & -4\end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 3-x & -1 & 1 & -7 \\ 9 & -3-x & -7 & -1\\ 0 & 0 & 4-x & -9\\ 0 & 0 & 2 & -4-x\end{pmatrix} \)
Da durch erhalte ich folgendes charakteristisches Polynom: x*x*(x-i*\( \sqrt{2} \) ) *(x+i*\( \sqrt{2} \) ). Daraus schließe ich da mein charakteristisches Polynom bereits nicht mehr nur aus reellen Teilen besteht, gibt es für die Matrix A keine reele Jordansche Normalform.
(b)
Durch das vorher bestimmte charakteristische Polynom ergeben sich folgende Eigenwerte.
x1=0
x2=i*\( \sqrt{2} \)
x3=-i*\( \sqrt{2} \)
dadurch erhalte ich folgende Eigenvektoren in dem ich einfach (A-x1E), (A-x2E) und (A-x3E) rechne. Das macht
v1=\( \begin{pmatrix} \frac{1}{3}\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \)
v2=\( \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\\frac{-7}{2}\\\frac{i*\sqrt{2}-4}{2}\\1 \end{pmatrix} \)
v3=\( \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\\frac{7}{2}\\\frac{-i*\sqrt{2}-4}{2}\\1 \end{pmatrix} \)
Was kann ich mit dem was ich bisher habe nun noch sagen.
algebraische Vielfachheit: die ist von meinem charakteristischem Polynom ablesbar daher =1
geometrische Vielfachheit: auch diese kann ich in diesem Fall vom charakteristischem Polynom ablesen. Da gilt, dass die geometrische Vielfachheit minimum 1 ist aber nie höher als die algebraische Vielfachheit. Da diese aber 1 ist, muss auch meine geometrische Vielfachheit 1 sein. Dies gilt für alle Eigenwerte.
Das was mir nun noch fehlt ist das Minimalpolynom und die Jordansche Normalform.
Wie das mit dem Minimalpolynom geht weiß ich leider nicht ich weiß nur das ich mein charakteristisches Polynom dafür verwenden muss allerdings wie genau, weiß ich nicht.
Die Jordan Normalform kann ich mit Hilfe der Dim und dem Rang der Matrizen heraus bekommen aber wie das geht hab ich leider noch nicht 100% verinnerlicht weshalb mir das schwierigkeiten bereitet.
Die Jordan Normalform die wohl aber heraus kommen muss sieht so aus:
J= \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -i*\sqrt{2} & 0\\ 0 & 0 & 0 & i\sqrt{2}\end{pmatrix} \).
Wäre jemand so freundlich und würde zu einem mal drüber schauen ob ich das bisher alles so richtig gemacht habe. Und könnte man mir das bitte mit dem Minimalpolynom und der Jordan Normalform hier nochmal zeigen weil ich muss das in einer anderen Aufgabe auch nochmal machen und ich hab es leider bisher echt nicht verstanden.
Liebe Grüße
