Jordan normalform Beweis von e^M = T^{-1} e^ M ^M_(M) (F_M) T?

Question

Ich verstehe nicht wie man das beweisen soll.

Comments

Wie mache ich das jetzt wenn ich das für die matrix

1 1 1

0 1 -1

0 0 2

Zeigen will?

Answer 1

Hi, es ist
$$ e^M = \sum_{k=0}^\infty \frac{M^k}{k!}  $$ und weiter hast Du $$ M_M^M(F_M) = T \cdot M \cdot T^{-1}  $$ also $$ M = T^{-1}  \cdot M_M^M(F_M) \cdot T  $$
Daraus folgt $$  e^M = \sum_{k=0}^\infty \frac{(T^{-1} \cdot M_M^M(F_M) \cdot T)^k}{k!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{T^{-1} \cdot M_M^M(F_M)^k \cdot T}{k!} =$$ 

$$ T^{-1} \cdot \sum_{k=0}^\infty \frac{M_M^M(F_M)^k}{k!} \cdot T = T^{-1} \cdot e^{M_M^M(F_M)} \cdot T $$