Question

Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden linearen Gleichungssysteme über \( \mathbb{K} \) :

i. \( \left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & -5 \\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & -2 & -1\end{array}\right) \cdot x=\left(\begin{array}{c}-5 \\ 4 \\ 7\end{array}\right), \mathbb{K}=\mathbb{R} \),
ii. \( \left(\begin{array}{llc}{[1]_{13}} & {[1]_{13}} & {[-1]_{13}} \\ {[2]_{13}} & {[0]_{13}} & {[1]_{13}} \\ {[1]_{13}} & {[1]_{13}} & {[3]_{13}}\end{array}\right) \cdot x=\left(\begin{array}{l}{[3]_{13}} \\ {[5]_{13}} \\ {[1]_{13}}\end{array}\right), \mathbb{K}=\mathbb{Z}_{13} \).

b) Sei \( 0 \neq \mu \in \mathbb{K}, p \in I_{m} \). Zeigen Sie, dass \( E_{m,\left[z_{p} \rightarrow \mu z_{p}\right]}^{-1}=E_{m,\left[z_{p} \rightarrow \mu^{-1} z_{p}\right]} \in \mathbb{K}^{m, m} \) gilt.

c) Seien \( C, D \in \mathbb{R}^{m, m} \) symmetrische Matrizen. Zeigen Sie, dass \( C D \) genau dann symmetrisch ist, wenn \( C D=D C \) gilt.

Comments

Bitte immer einzelne Aufgaben einstellen.

Aufgabe i. solltest du auch selbständig lösen können.

Answer 1

i. Gauss-Alg:

\( \left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & -5& -5 \\ 1 & 1 & 3& 4 \\ 3 & -2 & -1& 7\end{array}\right) \)

2. Zeile + 1. Zeile und 3.Zeile + 3* 1. Zeile

\( \left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & -5& -5 \\ 0 & -1 & -2& -1 \\ 0 & -8 & -16 & -8\end{array}\right) \)

3. Zeile - 8 * 2. zeile

\( \left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & -5& -5 \\ 0 & -1 & -2& -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \)

Also x3 beliebig, etwa x3=t.  Und dann

-x2 -2t = -1 ==>    x2= 1-2t

und -x1 -2( 1-2t ) -5t = -5 ==>   x1 = 3-t.

==>  L = {(3-t ; 1-2t ; t ) | t∈ℝ}