Hallo :-)
Eine Möglichekit wäre folgende:
Das charakteristische Polynom von \(A\) zerfällt über \(\mathbb{C}\) in Linearfaktoren, sodass \(A\) trigonalsierbar ist, d.h es gibt eine invertierbare Matrix \(T\in \mathbb{C}^{3,3}\) mit \(A=T^{-1}\cdot D\cdot T\), wobei \(D\) eine obere Dreiecksmatrix ist, der Form $$D=\begin{pmatrix}t_1&*&*\\0&t_2&*\\0&0&t_3\end{pmatrix}\in \mathbb{C}^{3,3}$$
und \(t_1,t_2,t_3\) die Eigenwerte von \(A\) sind.
Nun fällt beim Hinschauen zur Matrix \(A\) auf, dass diese nicht invertierbar ist, da sich zb die erste Spalte als Linearkombination von zweiter und dritter Spalte schreiben lässt. \(A\) hat also keinen vollen Rang, d.h. \(\det(A)=0\). Mit der obigen Gleichheit von \(A\) folgt also mit dem Determinatenmultiplikationssatz
$$0=\det(A)=\det(T^{-1}\cdot D\cdot T)=\det(T^{-1})\cdot \det(D)\cdot \det(T)\\=\det(T)^{-1}\cdot \det(D)\cdot \det(T)=\det(D)=t_1\cdot t_2\cdot t_3\in \mathbb{C}.$$
Da \(\mathbb{C}\) nullteilerfrei ist, ist mindestens ein Faktor \(=0\). Also ist \(0\) ein Eigenwert von \(A\).
