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Aufgabe:

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Für welche \( \lambda \in \mathbb{R} \) ist die Matrix \( A_{\lambda}=\left(\begin{array}{cc}\lambda & -1 \\ \lambda^{2} & 1\end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(2 ; \mathbb{R}) \)

diagonalisierbar



Problem/Ansatz:

Ich würde über die Eigenwerte eigentlich rangehen und dann die Eigenräume auf Vielfachheit prüfen allerdings klappt das hier nicht so ganz

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Das charakteristische Polynom lautet nach meinen Berechnungen
\(p_\lambda(t)=t^2-(\lambda+1)t+\lambda^2+\lambda\).
Die Diskriminante von \(p_\lambda\) lautet
\(D=(\lambda+1)^2-4{\cdot}1{\cdot}(\lambda^2+\lambda)=(\lambda+1){\cdot}(1-3\lambda)\).

Für \(D<0\) hat es keine rellen Nullstellen, d.h. das charakteristische Polynom zerfällt nicht in Linearfaktoren und \(A_\lambda\) ist nicht diagonalisierbar.
Das ist der Fall für \(\lambda<-1\) oder \(\lambda>\frac13\).

Für \(D>0\) hat es zwei verschiedene reelle Nullstellen, d.h. \(A_\lambda\) ist diagonalisierbar.
Das ist der Fall für \(-1<\lambda<\frac13\).

Es bleiben die Fälle \(\lambda=-1\) oder \(\lambda=\frac13\). Man rechnet leicht nach, dass es dann jeweils nur einen linear unabhängigen Eigenvektor gibt, d.h. \(A_\lambda\) ist nicht diagonalisierbar.

Avatar von 3,6 k

Ah vielen dank. Das hatte ich alles genauso nur ich wusste dann nicht genau was ich mit den werten für Lamda anfnagen soll um auf Diagonalisierbarkeit zu prüfen.

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