Das charakteristische Polynom lautet nach meinen Berechnungen
\(p_\lambda(t)=t^2-(\lambda+1)t+\lambda^2+\lambda\).
Die Diskriminante von \(p_\lambda\) lautet
\(D=(\lambda+1)^2-4{\cdot}1{\cdot}(\lambda^2+\lambda)=(\lambda+1){\cdot}(1-3\lambda)\).
Für \(D<0\) hat es keine rellen Nullstellen, d.h. das charakteristische Polynom zerfällt nicht in Linearfaktoren und \(A_\lambda\) ist nicht diagonalisierbar.
Das ist der Fall für \(\lambda<-1\) oder \(\lambda>\frac13\).
Für \(D>0\) hat es zwei verschiedene reelle Nullstellen, d.h. \(A_\lambda\) ist diagonalisierbar.
Das ist der Fall für \(-1<\lambda<\frac13\).
Es bleiben die Fälle \(\lambda=-1\) oder \(\lambda=\frac13\). Man rechnet leicht nach, dass es dann jeweils nur einen linear unabhängigen Eigenvektor gibt, d.h. \(A_\lambda\) ist nicht diagonalisierbar.