Für welche a ist die Matrix diagonalisierbar?

Question

Aufgabe:

Für welche a ∈ ℝ⁺ ist \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\  0 & a^2 & 0  \end{pmatrix} \) diagonalisierbar?

Problem/Ansatz:

Habe die Eigenwerte 0, a, -a berechnet. Wie fahre ich nun fort?

Answer 1

Wenn \(A\) drei verschiedene Eigenwerte hat, ist es auf jeden Fall diagonalisierbar.

Bleibt also nur noch der Fall \(a=0\) zu prüfen:

Berechne für diesen algebraische und geometrische Vielfachheit. Wenn die gleich sind, ist \(A\) diagonalisierbar, sonst nicht.

Oder einfacher, mit mehr Denken, weniger rechnen: Wenn es diagonalisierbar wäre, was wäre dann die Diagonalmatrix \(D\)? Kann das sein, also \(TAT^{-1}=D\), oder äquivalent \(T^{-1}DT=A\)?

Comments

Ahja stimmt, wenn die Eigenwerte verschieden sind, dann sind die passenden Eigenvektoren unabhängig und bilden so eine Basis und somit ist die Matrix diagonalisierbar. Danke, werde den Fall a = 0 prüfen.

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Fall Eigenwert 0 mit a = 0: Eigenvektor y*(0,1,0)

Fall Eigenwert = 0: Eigenvektor x*(1,0,0).

Diese zwei Eigenvektoren bilden aber keine Basis für ℝ³ und deswegen ist die Matrix nicht diagonalisierbar für a = 0. Anders ausgedrückt, die Matrix ist diagonalisierbar ∀ a ∈ ℝ₀

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Am Ende sollte es \(\forall x\neq 0\) heißen.

Du musst aber sicher sein, dass es keine drei lin. unabh. Eigenvektoren gibt. Dass Du zwei gefunden hast, heißt erstmal nichts. Und (0,1,0) ist auch gar kein EV. Du könntest ja theoretisch noch einen dritten finden, das muss eben ausgeschlossen werden.

Hab oben noch eine zweite Idee für den Nachweis hinzugefügt.

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Ups habe einen Fehler gemacht. Nochmal von vorne:

a = 0: A = \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Eigenwerte: det(A-λI) = 0 ⇔ λ = 0 mit Vielzahl 3

Passender Eigenvektor: x(1,0,0) (x ∈ ℝ₀)

Da wir nur einen unabhängigen Eigenvektor gefunden haben, beträgt die geometrische Vielfachheit von λ=0 nur 1, während die algebraische Vielfachheit 3 beträgt. Daher ist die Matrix im Fall a = 0 nicht diagonalisierbar. Ich wüsste nicht wie man hier noch weitere Eigenvektoren finden sollte für diesen Fall.

Bei deiner zweiten Idee verstehe ich nicht genau was du meinst.

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Den Begriff "Vielzahl" gibt es nicht. Sonst alles richtig. Es klingt aber nicht gut, wenn in Deinem Beweis "ich wüsste nicht..." steht. Du solltest sagen, dass es hier nur einen EV gibt.

Zur zweiten Idee: Na, das ist doch die Def. der Diagonalisierung. Wie würde denn \(D\) aussehen, im Falle \(a=0\), wenn \(A\) diagonalisierbar wäre (nur mal angenommen)?

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D = \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

Oh ja ... ich sehe es :D Multiplikation mit 0_3x3 , angenommen sie wäre diagonalisierbar dann wäre A = 0_3x3 

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Genau so ist es.

Answer 2

Für \(a=0\) ist die Matrix nilpotent. Außer der Nullmatrix ist

keine nilpotente Matrix diagonalisierbar.