Man soll wohl kaum das Integral exakt berechnen, sondern dessen Existenz nachweisen.
Die Argumentation von abakus mag anschaulich nachvollziehbar sein, reicht aber für einen Nachweis meines Erachtens nicht aus.
ob es eine andere Methode gibt
Mein Vorschlag dazu: Partielle Integration liefert für \(t\ge1\)$$\begin{aligned}\int_1^t\frac{\sin(2x)}{\sqrt x}\,\mathrm dx&=-\frac{\cos(2x)}{2\sqrt x}\,\bigg\vert_1^t-\int_1^t\frac{\cos(2x)}{4x\sqrt x}\,\mathrm dx\\&=\frac{\cos2}2-\frac{\cos(2t)}{2\sqrt t}-\int_1^t\frac{\cos(2x)}{4x\sqrt x}\,\mathrm dx.\end{aligned}$$Das letzte Integral lässt sich folgendermaßen abschätzen:$$\left\lvert\int_1^t\frac{\cos(2x)}{4x\sqrt x}\,\mathrm dx\right\rvert\le\int_1^t\left\lvert\frac{\cos(2x)}{4x\sqrt x}\right\rvert\mathrm dx\le\int_1^t\frac1{4x\sqrt x}\,\mathrm dx=-\frac1{2\sqrt x}\,\bigg\vert_1^t=\frac12-\frac1{2\sqrt t}\le\frac12.$$Außerdem ist \(\,\left\lvert\dfrac{\cos(2t)}{2\sqrt t}\right\rvert\le\dfrac12\).
