Zeige, dass das uneigentliche Integral

Question

Aufgabe:

Zeige, dass das uneigentliche Integral

$$\int \limits_{1}^{\infty} \frac{sin(2x)}{\sqrt{x}}dx$$

existiert.
Problem/Ansatz:

Normalerweise kann man ja das unendliche ersetzen durch eine feste grenze und dann gegen unendlich laufen lassen, nachdem man das Integral berechnet hat. Aber diese Integral scheint mir sehr aufwendig zu berechnen zu sein und deswegen wollte ich fragen ob es eine andere Methode gibt zu zeigen, dass es existiert, z.B. mit den Eigenschaften der beiden Teilfunktionen?

Comments

Aber diese Integral scheint mir sehr aufwendig zu berechnen zu sein

Ja und sehr komplex.

Hier mit Weg:

https://www.integralrechner.de/

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Man soll wohl kaum das Integral exakt berechnen, sondern dessen Existenz nachweisen.

Die Argumentation von abakus mag anschaulich nachvollziehbar sein, reicht aber für einen Nachweis meines Erachtens nicht aus.

ob es eine andere Methode gibt

Mein Vorschlag dazu: Partielle Integration liefert für $t\ge1$$$\begin{aligned}\int_1^t\frac{\sin(2x)}{\sqrt x}\,\mathrm dx&=-\frac{\cos(2x)}{2\sqrt x}\,\bigg\vert_1^t-\int_1^t\frac{\cos(2x)}{4x\sqrt x}\,\mathrm dx\\&=\frac{\cos2}2-\frac{\cos(2t)}{2\sqrt t}-\int_1^t\frac{\cos(2x)}{4x\sqrt x}\,\mathrm dx.\end{aligned}$$Das letzte Integral lässt sich folgendermaßen abschätzen:$$\left\lvert\int_1^t\frac{\cos(2x)}{4x\sqrt x}\,\mathrm dx\right\rvert\le\int_1^t\left\lvert\frac{\cos(2x)}{4x\sqrt x}\right\rvert\mathrm dx\le\int_1^t\frac1{4x\sqrt x}\,\mathrm dx=-\frac1{2\sqrt x}\,\bigg\vert_1^t=\frac12-\frac1{2\sqrt t}\le\frac12.$$Außerdem ist $\,\left\lvert\dfrac{\cos(2t)}{2\sqrt t}\right\rvert\le\dfrac12$.

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Wieso hast du erst nach der partiellen Integration den kosinus abgeschätzt? Hätte man nicht direkt argumentieren können, dass sin(2x) <= 1 und somit auch die majorante nehmen können?

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Probier doch mal selbst, ob dieser kürzere Weg auch gehen würde. Dann wirst Du sehen, ob es einen Unterschied macht.

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Mir ist aufgefallen, dass es ja divergieren würde. Alles geklärt, danke :)

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Genau. Man muss also irgendwelche Vorbereitungen treffen (wozu es sicher mehrere Möglichkeiten gibt), damit man am Ende mit einem konvergenten Integral dasteht.

Answer 1

sin(2x) ist etwas, was zwischen -1 und 1 pendelt. Von Nullstelle zu Nullstelle dieser Funktion erhält man ständig kleiner werdende Flächenstücke, die abwechselnd oberhalb und unterhalb der x-Achse liegen.

Denke an das Leibniz-Kriterium...

Comments

Ah stimmt an das Leibnizkriterium habe ich noch nicht gedacht. Kann man sin(2x) einfach durch (-1)ⁿ ersetzen als Majorante?

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Der Vorzeichenwechsel von (-1)ⁿ erfolgt nicht an den selben Stellen wie bei sin(2n).

Der Begriff "Majorante" ist hier auch problematisch. Der Wert -1 ist kleiner als die meisten Werte der Sinusfunktion

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Ok, danke dir :)