Für welches a≥0 existiert das uneigentliche Integral von f(x) = sin(x)/x^{a}

Question

Aufgabe:

Für welche \( a \geq 0 \) existiert das folgende uneigentliche Integral:

\( \int \limits_{0}^{1} \frac{\sin (x)}{x^{a}} d x ? \)

▢ Für alle \( a \leq 2 \)

▢ für alle \( a > 1 \)

Answer 1

Vermutlich wollte der Aufgabensteller nur den Sonderfall a=1 betrachten, denn das ist die bekannte Funktion Sinusintegral (auch bei Wikipedia beschrieben):

Wegen Ausschlussprinzip, kann es also nicht b) a>1 sein.

Wer sich genauer damit beschäftigt, kommt an hypergeometrischen Funktionen nicht vorbei.

Unter http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php kann man für a < 2 über 30 Stellen berechnen lassen.

Bei a==2 gibt es eine Polstelle. Und für a >=2 divergieren alle Berechnungsversuche gegen UNENDLICH:

- Cauchy-Konvergenz-Krit...

- Reihen-Entwicklung usw.

Die exakte Antwort lautet also a < 2 und nicht a <= 2.

Answer 2

um so eine Frage "mal eben" per multiple choice zu beantworten weckt in mir die Vermutung, dass ihr euch vorher mit der Stammfunktion solcher Funktionen beschäftigt habt. Ich würde empfehlen dies zu rate zu ziehen.

Ansonsten hilft hier sicherlich die Darstellung von Sinus als Potenzreihe um einen anderen Blickwinkel der Aufgabe zu bekommen.

Im Augenblick würde ich aber sogar behaupten, dass keine der beiden Antworten richtig ist.

Gruß