Ich habe keine Erfarhung mit Wahrscheinlichkeitsrechnung, deswegen lerne ich egrade die Basics:
Sei ein Ereignis durch die diskrete, ganzzahlige Variable \(j\) beschrieben und die Häufigkeit des Eintretens vom Ereignis durch \(P(j)\) gegeben.
Nun wird im Buch argumentiert, dass für den Mittlwert gilt: \(\overline{ j^2 } \geq (\overline{ j })^2\)
Der Mittelwert ist durch die Reihe \( \sum \limits_{j=0}^{\infty}j\cdot P(j) \) gegeben.
Der Grund ist die Definition der Standardabweichung \( \sigma\) , welche per Definition nur positive Werte animmt und gezeigt wurde, dass \( \sigma = \sqrt{ \overline{ j^2 } - (\overline{ j })^2 }\).
Ich verstehe die Implikation \( \sigma = \sqrt{ \overline{ j^2 } - \overline{ j }^2 } \geq 0 \Rightarrow \overline{j^2} \geq \overline{ j }^2 \)
Aber \( \overline{ j^2 }= \sum \limits_{j=0}^{\infty}j^2\cdot P(j^2) \geq (\sum \limits_{j=0}^{\infty}j\cdot P(j) )^2=(\overline{ j })^2\) finde ich nicht offensichtlich.
Kann mir jemand zusätzliche Erklärungsansätze geben? Es könnte bspw. gelten \(P(j^2)<<P(j) \). Anegnommen \(j \) beschreibt ein Alter. Sei j=2 oder j=4 möglich, wobei die Grundmenge aus 3 Personen mit j=2 und 1 Person mit j=4 besteht, aalso \(P(2)=0,75 \) und \(P(4)=0,25 \). Es folgt:
\( \overline{ j^2 }= \sum \limits_{j=0}^{\infty}j^2\cdot P(j^2)=2^2\cdot P(2^2=4)+4^2\cdot P(4^2=16)=4\cdot 0,25 + 4^2\cdot 0=1 < (2\cdot P(2) + 4\cdot P(4))^2= (2\cdot 0,75 + 4\cdot 0,25)^2 =(1,5 +1)^2=2,5^2 =(\sum \limits_{j=0}^{\infty}j\cdot P(j) )^2=(\overline{ j })^2\)
